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1、第8章 常微分方程,实际中，很多问题的数学模型都是微分方程。我们可以研究它们的一些性质。但是，只有极少数特殊的方程有解析解。对于绝大部分的微分方程是没有解析解的。,常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在自然界与工程界有很广泛的应用。很多问题的数学表述都可以归结为常微分方程的定解问题。很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解。,本章讨论常微分方程的数值解法,对于一个常微分方程：,通常会有无穷个解。如：,因此，我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出，如下面的初值问题：,为了使解存在唯一，一般，要加限制条件在f上，要求f对y满足Lipschitz条件：,常微分方程的解是一个函数，
2、但是，计算机没有办法对函数进行运算。因此，常微分方程的数值解并不是求函数的近似，而是求解函数在某些节点的近似值。,例：我们对区间做等距分割：,设解函数在节点的近似为,由数值微分公式，我们有,，则：,向前差商公式,可以看到，给出初值，就可以用上式求出所有的,基本步骤如下：, 解差分方程，求出格点函数, 对区间作分割：,求y(x)在xi上的近似值yi。,称为分割,上的格点函数,数值方法，主要研究步骤，即如何建立差分方程，并研究差分方程的性质。,这种方法 ，称为数值离散方法。求的是在一系列离散点列上，求未知函数y在这些点上的值的近似。,我们的目的，就是求这个格点函数,为了考察数值方法提供的数值解，是
3、否有实用价值，需要知道如下几个结论：, 收敛性问题, 误差估计, 稳定性问题,步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题的真解；,舍入误差，在以后各步的计算中，是否会无限制扩大；,8.1 Euler公式,做等距分割，利用数值微分代替导数项，建立差分方程。,1、向前差商公式,所以，可以构造差分方程,称为局部截断误差。显然，这个误差在逐步计算过程中会传播，积累。因此还要估计这种积累,记为,2、收敛性,考察局部误差的传播和积累,称为整体截断误差,是1阶方法,3、稳定性误差在以后各步的计算中不会无限制扩大。,我们考虑简单情况：仅初值有误差，而其他计算步骤无误差。,设,是初值有误差后的计算值，则,所以，我
4、们有：,可以看出，向前差商公式关于初值是稳定的。当初始误差充分小，以后各步的误差也充分小,4、向后差商公式,是隐格式，要迭代求解,可以由向前差商公式求出,5、中心差商公式,是多步，2阶格式，该格式不稳定,6、梯形法基于数值积分的公式,对微分方程,做积分，则：,类似，可以算出其误差估计式：,2阶的方法,所以，有格式为：,是个隐式的方法，要用迭代法求解,局部截断误差, 基于数值积分的构造法,若积分,用节点,作为积分点，则,积分系数,这是显格式，q+1阶r+1步格式。r=maxp,q,若以xn+1, xn+1, xn-q+1 为积分节点，可以构造r+1步q+1阶隐格式,局部截断误差,例：建立p=1,
5、q=2的显格式,p=1，,q=2，显格式，,积分区间为,积分节点为,所以,误差分析,例：建立p=2,q=2的隐格式,p=2，,q=2，隐格式，,积分区间为,积分节点为,所以,它的截断误差较 显格式 小，通常也具有更好的稳定性。, Adams公式 p=0 时候的多步法,参见书,线性多步法,用若干节点处的 y 及 y 值的线性组合来近似y(xn+1)。,其通式可写为：,当 10 时，为隐式公式; 1=0 则为显式公式。,由Taylor展开,记为,所以，可以构造格式,这种格式使用到了各阶偏导数，使用不便。,如何起步？如何得到高精度、单步的格式？,从另一个角度看，,取(xn,y(xn)及其附近的点做线
6、性组合，表示F，问题就好办了。当然，要求此时的展开精度相同。 这种方法称为RungeKutta法,8.2 RungeKutta法,在(xn,y(xn)处展开，,比较,以2阶为例，设,有：,1、改进的Euler公式,2、Heun公式,一般的RungeKutta法构造,常见的为3阶，4阶公式, 最常用为四级4阶经典龙格-库塔法 ：,Lab07 常微分方程,3.用如上程序求常微分方程,分别取步长h=0.1,0.1/2,0.1/4,0.1/8计算y(1.5)，并与精确解比较,1.经典4阶Runge-Kutta方法解常微分方程的通用程序,2.Adams隐式3阶方法解常微分方程的通用程序(由1提供初值),
7、4.给出误差和误差阶。简单分析数据,Sample Output ( represents a space) Runge-Kutta法，误差和误差阶为 k=0,0.244934066848e00 k=1,0.534607244904e-01, 3.90 . Adams隐格式，误差和误差阶为 k=0,0.244934066848e00 k=1,0.534607244904e-01 , 3.01 .,8.4 方程组和高阶方程的数值解法,写成向量的形式：,各种方法都可以直接运用过来。,Euler公式,以两个方程的方程组为例,Runge-Kutta公式,1、,2、确定方法，然后求解,（0.20276 0
8、.0881157） （0.213007 0.0934037） （0.223763 0.0988499） （0.235052 0.104437） （0.246902 0.110146）,4阶Runge-Kutta法，h=1,高阶方程,则有：,令,例：考察初值问题 在区间0, 0.5上的解。 分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。,1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000101 3.2000101,1.0000 2.5000101 6.2500102 1.5625102 3.9063103 9.7656104,1.0000 2.5000 6.2500 1.5
9、626101 3.9063101 9.7656101,1.0000 4.9787102 2.4788103 1.2341104 6.1442106 3.0590107,出了什么问题 ?!,8.5 差分方程的绝对稳定性,显然，这个误差不仅于差分格式有关，而且与微分方程本身有关。如果微分方程本身是不稳定，那就没理由要求这2组解充分接近。因此，差分方程的稳定性概念是建立在微分方程稳定的基础上的。,考虑最简单的模型：只有初值产生误差，看看这个误差的传播。,把这个典型微分方程规定为：,差分方程运用到如上的微分方程后，可以得到,对于给定的初始误差,，误差方程具有一样的形式,对于一般的差分方程,定义：差分方程称为绝对稳定的，若差分方程作用到微分方程,时，对任意的初值，总存在左半复平面上的一个区域，当 在这个区域时，差分方程的解趋于0。这个区域称为稳定区域,例：Euler公式的稳定性,误差方程：,考察隐式欧拉法,可见绝对稳定区域为：,注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。,3阶Runge-Kutta,显式 1 4 阶方法的绝对稳定区域为,
