《计算方法第5次课++计算方法数值积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算方法第5次课++计算方法数值积分（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,计算方法 3 数值积分,航空科学与工程学院,2,3 数值积分,问题的提出 几个概念,数值积分,3,3.0 问题的提出,回顾 数学分析中关于定积分的定义。,数值积分,4,积分函数 假设f(x)为定义在a，b上的可积函数，计算积分,数值积分,如果F(x)为原函数，则有Newton-Leibniz公式,5,Q: (1) 有些函数的原函数不能用初等函数表现为有限的形式；,数值积分,(2) 原函数的形式复杂；,(3) 原函数没有具体的表达式，只有离散点。,寻找定积分的数值解法。,6,3.1 数值积分公式,一般形式 设a，b为有限或无限区间， 其中，w(x)为权函数，满足：,数值积分,(1) 在a，b
2、中，w(x)0，并且只有有限个零点； (2) 存在。,7,用被积函数 f(x) 的若干节点xi (ax0 x1 xnb)处的函数值 f(xi) 的线性组合 作为I(f )的近似值,求积节点：xk(k=0，1，n),数值积分,数值积分公式，求积公式。,求积系数：Ak(k=0，1，n)与f(x)无关，仅与求 积节点有关；,余项或离散误差：Rn(f)=I(f)-In(f)。,8,3.2 插值型的求积公式,一般思想,数值积分,取简单的、便于积分且又逼近于被积函数f(x)的函数(x)代替f(x)来构造求积公式。,典型插值多项式,插值函数,9,Lagrange多项式：,数值积分,从而插值型求积公式： 余项
3、：,与f(x)无关，仅与求 积节点有关,10,Newton-Cotes插值公式,设a，b为有限区间，取w(x)=1，h=(b-a)/n，等距节点xk=a+kh(k=0，1，n)。 记x=a+th(0t n)，则：,数值积分,11,而dx =hdt，,数值积分,n阶Newton-Cotes插值公式。,12,通常取,数值积分,从而:,(k=0，1，n)为Cotes系数。,13,Cotes系数,数值积分,Cotes系数的特点 why?,14,特例,梯形公式,数值积分,n=1，x0=a，x1=b，h=b-a,示意图,15,Simpson公式(抛物线插值公式),数值积分,n=2，x0=a， x1=(b+
4、a)/2， x2=b，h=(b-a)/2,16,Cotes公式 四阶(n=4)Newton-Cotes公式 适用性：高阶公式稳定性差,数值积分,插值精度 积分放大误差,17,例题 利用梯形公式和Simpson公式求积分 解：I1(f)=0.75; I2(f)=0.69444; I(f)=0.69314718. 有效数字？,数值积分,精度？,18,代数精度,描述形式?,数值积分,对 如果该求积公式对于一切次数m的多项式是准确的，但对于 m+1次多项式不准确，则称其具有m次代数精度。,19,定理： 求积公式具有n次代数精度的充要条件是：它是插值型的。,数值积分,证明： (1) n次的多项式的插值函
5、数是其本身，从而插值型具有至少n阶精度； (2) 求积函数具有n次代数精度，则对其插值基函数lk(x)，有：,n次代数多项式,基函数的特点,20,典型插值公式的代数精度：二阶、四阶；,数值积分,21,求积公式的收敛性与稳定性,定义2 若,其中,在求积公式中，由于计算 可能产生误差 ，,实际得到将是 ，,即,则称求积公式是收敛的.,记,22,如果对任给小正数,只要误差 充分小就有,则表明求积公式计算是稳定的,定义3 对任给 若 只要,就有 成立， 则称求积公式是稳定的.,23,定理2 若求积公式中系数,证明,取,则此求积公式是稳定的.,对任给,都有,若对,则当 时有,24,Exercises: P135，第1、2题。,数值积分,25,谢谢！,数值积分,
