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1、1,有限元与数值方法第三讲 微分方程的等价积分形式,授课教师：刘书田,Tel：84706149； Email： 教室：研教楼 102 时间：2011年3月25日：18：0021：20,2,微分方程的等价积分形式,描述物理问题的三种数学工具： 微分方程边值问题（强式形式） 相应的数值方法是差分方法 能量原理（例如，最小总势能原理，最小余能原理） 相应的数值方法是有限元法 微分方程的弱形式 相应的数值方法是加权残数法、有限元法 和虚功原理可比较 系统如果没有能量也可使用,3,微分方程的算子形式 在域内： 边界上： 其中，A，B1，B2为微分算子,例1：二维稳态热传导微分方程,微分方程的等价积分形式
2、,4,例2：二维稳态热传导-对流微分方程,5,例3：二维稳态热传导微分方程的一阶微分形式（与例1方程等价）,这是一个典型的混合列式。,未知函数是,6,微分方程的等价积分形式,两端简支梁，微分方程边值问题,最小总势能原理,7,显然，如果在区域上， 几乎处处为零，则对任意的 有,引理:如果对任意的 ，恒有 则,如果F(X)=0代表了微分方程，则上面定理和引理建立了微分方程和其积分形式之间的联系,(一) 预备知识,微分方程的等价积分形式,8,等价积分形式,若对任意函数列向量 有,则该积分表达式与微分表达式 完全等效。,同理，若对任意函数列向量 有,则该积分表达式与微分表达式 完全等效。,故称 为原微
3、分方程,的等价积分形式。,9,等价积分形式可积的条件：,1. 单值且在域内和边界上可积分,若 A 的最高阶导数为n，则u 的n-1 阶导数 必须连续，即u 具有 连续性,等价积分方程对函数连续性的要求：函数是可积的。 被积函数在区域上有有限个间断点，则可积,右图函数是 C0 连续的，其二阶导数不可积,等价积分形式,10,利用微分方程的算子形式，构造相应的积分形式 在域内，取任意函数 构造 同样，在边界上,即：,二维问题等价积分形式的例子,稳态热传导问题,11,取：,上式可得到简化,对于满足微分方程及其边界条件的解 u ,上式显然是成立的； 如果对任意的函数v(x)，上式成立，则可以证明u是微分
4、方程的解。,12,基于积分方程的数值方法的基本思想,微分提法：真实解在任意点均满足微分方程 积分提法：对于所有可能的解（u(x)中，真实的解应满足下式 积分形式的近似解法： 在有限可可能的解中，真实解的近似解为时下式取极小。,13,弱形式,在很多情况下，可以通过分部积分方法将前述积分方程转化为另外一个等价形式：,其中，D 和 F 通常包括相对 A 和 B 较低阶的导数。 这一形式称为微分方程的“弱形式”。,解函数的连续性降低，其代价是试函数连续性要求提高了。 弱形式经常是描述物理现象更为合理的形式，因为微分方程往往对解提出了过于光滑的要求。 对弱形式进行积分，是有限元方法的重要基础,14,一维
5、问题的弱形式例子,例：受轴向分布载荷 和端部集中力 P 的均匀杆,微分方程表达形式为,该方程积分后可得,一维问题可以通过分部积分将等价积分形式转化为弱形式,显然，真实解是三次多项式,15,一维问题的弱形式例子,微分方程的积分等价形式为,分部积分得到弱形式：,设解和试函数的形式各为,Galerkin方法,注意解已经满足强制边界条件,16,一维问题的弱形式例子,将试函数和近似解代入弱形式，并考虑自然边界条件，得到方程：,解得,因此，,可验证，该解未能精确满足杆端力的边界条件,17,自然边界条件的概念,对于微分方程的等价积分形式及其弱形式，,如果能通过选择试函数消去边界积分项，将给积分带来方便。能够
6、实现这一点的边界条件成为自然边界条件。 指定函数值本身的边界条件不是自然边界条件，成为强制边界条件。,18,自然边界条件的概念,例如，考虑问题：,如果近似解 满足x=0处的边界条件，但不满足x=1处的边界条件，则加权残数列式应反映域内的微分方程和x=1处的边界条件，即,19,自然边界条件的概念,第一项分部积分给出,为消去边界上未知函数的导数项，选取试函数之间满足如下关系：,这样，弱形式成为,以上弱形式中，不再出现未知函数导数的边界条件，即该边界条件在上式中自动满足，称为自然边界条件。,20,自然边界条件的概念,取近似解为 ，采用Galerkin方法，可得到线性方程组,其中，,方程具体形式为,可
7、以验证，近似解 给出,即自然边界条件未能精确满足。当然，域内微分方程也未能精确满足。 为什么？,21,归纳：强式和弱式的对比,强式 可直接求得系统方程的精确解 困难：复杂问题难以获得精确解； 数值求解时，近似函数要求有与微分方程同阶的可导性。 有限差分法属于基于强式的数值方法。,弱式 降低了对近似函数的连续性要求，使得选取试函数更容易； 基于弱式的方程通常是一组稳定性良好的离散方程，易于求解,22,预备知识,Green公式,或,为推导二维或三维问题的弱形式，需要掌握以下积分公式,Gauss定理（散度定理）,23,由格林公式可推导出：,所以,类比于高等数学中单变量函数的分部积分公式,预备知识,而
8、,同理,24,同理，三维空间中，由此前公式可推导出：,所以,预备知识,而,同理,25,微分方程的等价积分形式,2D稳态热传导问题的弱形式,微分方程（强形式）,强制边界条件,自然边界条件,26,利用格林公式,2D热传导问题的弱形式,同理，,27,弱形式,2D热传导问题的弱形式,考虑到 ，并令 ， 上式成为,目的是消去自然边界上的函数导数,28,讨论,2D热传导问题的弱形式,自然边界条件 自动满足 如果选择场函数时已经满足强制边界条件，则可通过选择 v 使得 而略去,29,加权残数法（Weighted Residual Method）,加权残数法的基本思想是：构造包含参数的微分方程的近似解，将近似
9、解代入微分方程和相应的边条件中，令得到的残差在适当加权后在微分方程定义域上的平均值为零，从而得到确定待求参数的代数方程式。,30,残数（内部）,残数（边界）,考虑微分方程和边条,加权残数法（Weighted Residual Method）,31,此处，一个方程，n个未知数（C1Cn）,加权残数法（Weighted Residual Method）,32,选 n 个权函数 Wj （j=1n）,j=1n n 个方程,求得C1Cn,加权残数法（Weighted Residual Method）,33,近似解构造方法,基函数系 选择原则 连续性 线性无关 正交 完备,典型的基函数系 多项式 三角级数
10、 梁振动振形 柱稳定函数 B-样条函数,通常取近似解为基函数的线性组合-基函数的选择方法,34,域内残数法 选取的基函数满足边界条件但不满足微分方程 边界残数法 选取的基函数满足域内微分方程但不满足边界条件 混合残数法 选取的基函数域内微分方程和边界条件都不满足,按基函数的性质进行分类,35,1.子域法,强迫余量在n个子域 的积分为零,n个方程，求得 C1Cn,取,子域上近似,按权函数的性质进行分类,36,2.配点法,取 j 个方程,当子域法中，令面积0，退化为配点法,37,（最小二乘法的残数方程）,(*),对应每一点误差的平方和最小，即接近真解。,3.最小二乘法（Least Square M
11、ethod）,38,一次矩,二次矩,n 次矩,R的 j 次矩,4.矩法,伽辽金方程,把基函数作为权函数：,5.伽辽金法（Galerkin Method）,误差与解函数空间“正交”,39,以上方法的比较,以上方法都将原问题转化为代数方程组的求解 Aa=c 配点法、子域法得到的是非对称的系数矩阵A； 最小二乘法、Galerkin法得到的是对称的系数矩阵A 最小二乘法易于产生病态矩阵A；并且不能通过分部积分法降低被积函数的微分阶次，因此要求单元间函数的充分的连续性,40,设,n=2 时,例题,即,余量为,41,1.子域法求解：,例题,解方程，得到,不对称的系数矩阵,42,2.配点法：,3.最小二乘法
12、：,解方程，得到,解方程，得到,其中,该方程显然有对称的系数矩阵,43,4. Galerkin法：,经与精确解比较，Galerkin法结果具有较高精度,解方程，得到,44,例题：一维稳态热传导问题,取近似解为,加权余量法格式：,45,Galerkin法：取 ，代入上式中，得到,即,显然，,其中,46,结果的比较,47,WRM推导虚功原理,三维弹性固体的平衡方程和边界条件：,取权函数为 ，则加权残数方程（等效积分形式）为,48,WRM推导虚功原理,分部积分给出,引用虚位移（微小位移）与虚应变的关系及力的边界条件，上式可写为,此即虚功原理,弱形式,49,WRM推导虚功原理,注解： 这里假定虚位移在域内连续可导，否则不能通过分部积分建立等效积分的弱形式 这里假定虚位移满足位移边界条件，否则外力虚功项中还应包括位移边界上约束反力的虚功 推导虚功原理的过程中，没有涉及本构关系，所以虚功原理可以用于非线性弹性及弹塑性等非线性问题 虚功原理表述了平衡条件 这里给出的虚功原理是基于小变形理论的，因此不能直接用于基于大变形理论的力学问题（对于大变形问题需要采用恰当的应力和应变度量）,50,练习,推导下列方程的弱形式：,解：,51,作业：平面应力问题的解,提示：u,v 用多项式做近似展开,52,作业解答,
