《2019届高考数学大一轮复习讲义：第四章 三角函数、解三角形 第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数.1 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学大一轮复习讲义：第四章 三角函数、解三角形 第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数.1 （16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数任意角、弧度制及任意角的三角函数 最新考纲考情考向分析 1.了解任意角的概念和弧度制的概念 2.能进行弧度与角度的互化 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的 定义. 以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度 与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主， 常与向量、三角恒等变换相结合，考查三角 函数定义的应用及三角函数的化简与求值， 考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意 识题型以选择题为主，低档难度. 1角的概念 (1)任意角：定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所 成的图形； 分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角 (2)
2、所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成的角的集合是 S|k360 ，kZ (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在 第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任 何一个象限 2弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧 度正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0. (2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 rad，1 rad. 180 ( 180 ) (3)扇形的弧长公式：l|r，扇形的面积公式：S lr |r2. 1 2
3、 1 2 3任意角的三角函数 任意角 的终边与单位圆交于点 P(x，y)时， 则 sin y，cosx，tan (x0) y x 三个三角函数的性质如下表： 三角函数定义域 第一象限 符号 第二象 限符号 第三象 限符号 第四象限 符号 sin R cosR tan |k ，kZ 2 4.三角函数线 如下图，设角 的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，过 A(1,0)作单位 圆的切线与 的终边或终边的反向延长线相交于点 T. 三角函数线 有向线段 MP 为正弦线；有向线段 OM 为余弦线；有向线段 AT 为正切 线 知识拓展 1三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限内
4、的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦 2任意角的三角函数的定义(推广) 设 P(x，y)是角 终边上异于顶点的任一点，其到原点 O 的距离为 r，则 sin ，cos ，tan (x0) y r x r y x 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角( ) (2)角 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关( ) (3)不相等的角终边一定不相同( ) (4)若 为第一象限角，则 sin cos1.( ) 题组二 教材改编 2角225弧度，这个角在第象限 答案 二 5 4 3角 的终边经过点 Q，则 sin ，cos
5、. ( 2 2 ， 2 2) 答案 2 2 2 2 4一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为弧度 答案 3 题组三 易错自纠 5(2018秦皇岛模拟)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是 ( ) 9 4 A2k45(kZ) Bk360(kZ) 9 4 Ck360315(kZ) Dk(kZ) 5 4 答案 C 解析 与的终边相同的角可以写成 2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以 9 4 9 4 只有答案 C 正确 6集合Error!Error!中的角所表示的范围(阴影部分)是( ) 答案 C 解析 当 k2n(nZ)时，2n 2n ，此时 表示的范围与 表示的范围 4 2 4
6、2 一样；当 k2n1 (nZ)时，2n 2n ，此时 表示的范围与 4 2 表示的范围一样，故选 C. 4 2 7(2018攀枝花质检)已知角 的终边经过点(4,3)，则 cos. 答案 4 5 解析 cos . 4 4232 4 5 8(2018济宁模拟)函数 y的定义域为 2cos x1 答案 (kZ) 2k 3，2k 3 解析 2cos x10， cosx . 1 2 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， x(kZ). 2k 3，2k 3 题型一题型一 角及其表示角及其表示 1设集合 MError!Error!，N Error!Error!，那么( ) AMN
7、BMN CNMDMN 答案 B 解析 由于 M 中，x 18045k9045(2k1)45，2k1 是奇数；而 N 中， k 2 x 18045k4545(k1)45，k1 是整数，因此必有 MN，故选 B. k 4 2若角 是第二象限角，则 是( ) 2 A第一象限角B第二象限角 C第一或第三象限角D第二或第四象限角 答案 C 解析 是第二象限角， 2k0.则实数 a 的取值 范围是( ) A(2,3 B(2,3) C2,3) D2,3 答案 A 解析 cos0，sin 0， 角 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上 Error!Error! 20，解得 m3. m 16m2 3 5 4(
8、2018成都模拟)点 P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达 Q 点，则 Q 点 2 3 的坐标为 ( ) A.B. ( 1 2， 3 2) ( 3 2 ，1 2) C.D. ( 1 2， 3 2) ( 3 2 ，1 2) 答案 A 解析 由三角函数定义可知 Q 点的坐标(x，y)满足 xcos ，ysin. 2 3 1 2 2 3 3 2 5已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周长为( ) A2 B4 C6 D8 答案 C 解析 设扇形的半径为 R，则 4R22， 1 2 R1，弧长 l4，扇形的周长为 l2R6. 6已知 是第二象限的角，其终边上一点为 P
9、(x，)，且 cosx，则 tan 等于( ) 5 2 4 A. B. C D 15 5 15 3 15 5 15 3 答案 D 解析 x 且 在第二象限， x x25 2 4 x，tan . 3 5 3 15 3 7(2017怀化模拟)sin 2cos 3tan 4 的值( ) A小于 0 B大于 0 C等于 0 D不存在 答案 A 解析 sin 20，cos 30， sin 2cos 3tan 40， cos ，y. 1 y21 1 23 10已知扇形的圆心角为 ，面积为 ，则扇形的弧长等于 6 3 答案 3 解析 设扇形半径为 r，弧长为 l， 则Error!Error! 解得Error
10、!Error! 11函数 y的定义域为 sin x 3 2 答案 ，kZ 2k 3，2k 2 3 解析 利用三角函数线(如图)， 由 sin x，可知 3 2 2k x2k ，kZ. 3 2 3 12满足 cos 的角 的集合为 1 2 答案 Error!Error! 解析 作直线x 交单位圆于C，D 两点，连接OC，OD，则OC 与OD 围成的区域(图中阴 1 2 影部分)即为角 终边的范围，故满足条件的角 的集合为E Er rr ro or r! !. 13已知 sin sin ，那么下列命题成立的是( ) A若 ， 是第一象限的角，则 coscos B若 ， 是第二象限的角，则 tan
11、tan C若 ， 是第三象限的角，则 coscos D若 ， 是第四象限的角，则 tan tan 答案 D 解析 如图，当 在第四象限时，作出 ， 的正弦线 M1P1，M2P2和正切线 AT1，AT2，观 察知当 sin sin 时，tan tan . 14已知点 P(sin cos，tan )在第四象限，则在0,2内 的取值范围是 答案 ( 2， 3 4) ( 7 4，2) 解析 由Error!Error! 得1tan 0 或 tan 1. 又 02， 或 2. 2 3 4 7 4 15(2017烟台模拟)若角 的终边与直线 y3x 重合，且 sin 0，又 P(m，n)是角 终边 上一点，
12、且|OP|，则 mn. 10 答案 2 解析 由已知 tan 3，n3m， 又 m2n210，m21. 又 sin 0，m1，n3.故 mn2. 16.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角 的始边与 x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于 A 点，它的终边与单位圆相交于 B 点，始边不动，终边在运动 (1)若点 B 的横坐标为 ，求 tan 的值； 4 5 (2)若AOB 为等边三角形，写出与角 终边相同的角 的集合 (3)若 ，请写出弓形 AB 的面积 S 与 的函数关系式 (0， 2 3 解 (1)根据题意可得 B，tan . ( 4 5， 3 5) 3 4 (2)若AOB 为等边三角形， 则 B或 B， ( 1 2， 3 2) ( 1 2， 3 2) 当 B时，tanAOB，AOB ； ( 1 2， 3 2)3 3 当 B时，tanAOB，AOB . ( 1 2， 3 2)3 3 与角 终边相同的角 的集合是 Error!Error!. (3)若 ，则 S扇形 r2 ， (0， 2 3 1 2 1 2 而 SAOB 11sin sin ， 1 2 1 2 故弓形 AB 的面积 S sin ，. 1 2 1 2 (0， 2 3
