《2019届高考数学大一轮复习讲义：第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和.3 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学大一轮复习讲义：第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和.3 （15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.3 等比数列及其前等比数列及其前 n 项和项和 最新考纲考情考向分析 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通 项公式与前 n 项和公式 2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关 系，并能用有关知识解决相应的问题 3.了解等比数列与指数函数的关系. 以考查等比数列的通项、前 n 项和及性质为 主，等比数列的证明也是考查的热点本节 内容在高考中既可以以选择题、填空题的形 式进行考查，也可以以解答题的形式进行考 查解答题往往与等差数列、数列求和、不 等式等问题综合考查. 1等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这 个数列叫作等比数列，这
2、个常数叫作等比数列的公比，通常用字母 q 表示(q0) 2等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 ana1qn1(a10，q0) 3等比中项 如果在 a 与 b 中插入一个数 G，使得 a，G，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义， ，G2ab，G，称 G 为 a，b 的等比中项 G a b Gab 4等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN) (2)若an为等比数列，且 klmn(k，l，m，nN)，则 akalaman. (3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a ，anbn，仍是等比 1 an2 n an bn
3、 数列 5等比数列的前 n 项和公式 等比数列an的公比为 q(q0)，其前 n 项和为 Sn， 当 q1 时，Snna1； 当 q1 时，Sn. a11qn 1q a1anq 1q 6等比数列前 n 项和的性质 公比不为1 的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其 公比为 qn. 知识拓展 等比数列an的单调性 (1)满足Error!Error!或Error!Error!时，an是递增数列 (2)满足Error!Error!或Error!Error!时，an是递减数列 (3)当Error!Error!时，an为常数列 (4)当 q0，b22，
4、2 2 . a1a2 b2 a2a1 b2 1 2 5设 Sn为等比数列an的前 n 项和，8a2a50，则_. S5 S2 答案 11 解析 设等比数列an的公比为 q， 8a2a50，8a1qa1q40. q380，q2， S5 S2 a11q5 1q 1q a11q2 11. 1q5 1q2 125 14 6一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存 1 KB，然后每 3 分钟自身复制一次， 复制后所占内存是原来的 2 倍，那么开机_分钟，该病毒占据内存 64 MB(1 MB210 KB) 答案 48 解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an，且 a12，q2，a
5、n2n， 则 2n64210216，n16. 即病毒共复制了 16 次 所需时间为 16348(分钟). 题型一题型一 等比数列基本量的运算等比数列基本量的运算 1(2018开封质检)已知等比数列an满足 a1 ，a3a54(a41)，则 a2等于( ) 1 4 A2 B1 C. D. 1 2 1 8 答案 C 解析 由an为等比数列，得 a3a5a ， 2 4 又 a3a54(a41)，所以 a 4(a41)， 2 4 解得 a42.设等比数列an的公比为 q， 则由 a4a1q3，得 2 q3，解得 q2， 1 4 所以 a2a1q .故选 C. 1 2 2(2018 届河北衡水中学二调)
6、设正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，且0)的等比数列an的前 n 项和为 Sn.若 S23a22，S43a42，则 a1等于( ) A2 B1 C.D. 1 2 2 3 答案 B 解析 由 S23a22，S43a42，得 a3a43a43a2，即 qq23q23，解得 q1(舍去)或 q ，将 q 代入 S23a22 中得 a1 a13 a12，解得 a11， 3 2 3 2 3 2 3 2 故选 B. 3(2018 届河南洛阳联考)在等比数列an中，a2，a16是方程 x26x20 的根，则 的值为( ) a2a16 a9 AB 2 2 22 C.D或 222 答案 D 解析 由 a2
7、，a16是方程 x26x20 的根，可得 a2a166，a2a162，显然两根同 为负值，a q162，即有 a 2，则的值为 a9.故选 D. 2 12 9 a2a16 a92 4(2017安阳一中模拟)已知数列an的前 n 项和 Sn3n2，nN，则( ) Aan是递增的等比数列 Ban是递增数列，但不是等比数列 Can是递减的等比数列 Dan不是等比数列，也不单调 答案 B 解析 Sn3n2，Sn13n12，anSnSn13n2(3n12)23n1(n2)， 当 n1 时，a1S11 不适合上式anError!Error!a11，a26，当 n2 时， an1 an 3.数列an从第二项
8、起构成首项为 6，公比为 3 的等比数列综上可得，数列 23n 23n1 an是递增数列，但不是等比数列 5(2017广元模拟)等比数列an的各项均为正数，且 a5a6a4a718，则 log3a1log3a2log3a10等于( ) A5 B9 Clog345 D10 答案 D 解析 由等比数列的性质知 a5a6a4a7， 又 a5a6a4a718，所以 a5a69， 则原式log3(a1a2a10)log3(a5a6)510. 6中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为 难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其意思为： 有一个
9、人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半， 走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了( ) A192 里 B96 里 C48 里 D24 里 答案 B 解析 设等比数列an的首项为 a1，公比为 q ， 1 2 由题意得378， a1(1 1 26) 11 2 解得 a1192，则 a2192 96， 1 2 即第二天走了 96 里，故选 B. 7已知an是各项都为正数的等比数列，其前 n 项和为 Sn，且 S23，S415，则 a3_. 答案 4 解析 S4S2a3a412，S2a1a23， q24，q2 或 q2(舍去)， a3a4 a1a2 12 3
10、a3a4a3(1q)3a312，a34. 8在各项均为正数的等比数列an中，若 a21，a8a62a4，则 a6的值是_ 答案 4 解析 因为 a8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由 a8a62a4，得 a2q6a2q42a2q2，消 去 a2q2，得到关于 q2的一元二次方程(q2)2q220，解得 q22，q21(舍去)， a6a2q41224. 9已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前 n 项和为 _ 答案 2n1 解析 设等比数列的公比为 q，则有Error!Error! 解得Error!Error!或Error!Error! 又an为递增数列，
11、Error!Error! 数列an的前 n 项和为2n1. 12n 12 10已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 anSn1(nN)，则通项 an_. 答案 1 2n 解析 anSn1， an1Sn11(n2)， 由，得 anan1an0，即 (n2)， an an1 1 2 又 a1 ， 1 2 数列an是首项为 ，公比为 的等比数列， 1 2 1 2 则 an n1 . 1 2 ( 1 2) 1 2n 11(2016全国)已知各项都为正数的数列an满足 a11，a (2an11)an2an10. 2 n (1)求 a2，a3； (2)求an的通项公式 解 (1)由题意，得 a2 ，
12、a3 . 1 2 1 4 (2)由 a (2an11)an2an10，得 2 n 2an1(an1)an(an1) 因为an的各项都为正数，所以 an10， 所以 . an1 an 1 2 故an是首项为 1，公比为 的等比数列， 1 2 因此 an. 1 2n1 12已知数列an中，a11，anan1 n，记T2n为an的前2n 项的和， ( 1 2) bna2na2n1，nN. (1)判断数列bn是否为等比数列，并求出 bn； (2)求 T2n. 解 (1)anan1 n， ( 1 2) an1an2 n1， ( 1 2) ，即 an2 an. an2 an 1 2 1 2 bna2na2
13、n1， ， bn1 bn a2n2a2n1 a2na2n1 1 2a2n 1 2a2n1 a2na2n1 1 2 a11，a1a2 ， 1 2 a2 ，b1a1a2 . 1 2 3 2 bn是首项为 ，公比为 的等比数列 3 2 1 2 bn n1 . 3 2 ( 1 2) 3 2n (2)由(1)可知，an2 an， 1 2 a1，a3，a5，是以 a11 为首项，以 为公比的等比数列；a2，a4，a6，是以 a2 为 1 2 1 2 首项，以 为公比的等比数列， 1 2 T2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n) 3. 1(1 2)n 11 2 1 21( 1 2)n 11 2 3 2n
14、 13(2017新乡三模)若数列an1an是等比数列，且 a11，a22，a35，则 an_. 答案 3n11 2 解析 a2a11，a3a23，q3， an1an3n1，ana1a2a1a3a2an1an2anan1133n 2 ， 13n1 13 a11，an. 3n11 2 14设数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11，anan1(n1,2,3，)，则 1 2n S2n3_. 答案 4 3(1 1 4n2) 解析 由题意，得 S2n3a1(a2a3)(a4a5)(a2n2a2n3)1 1 4 1 16 1 4n1 . 4 3(1 1 4n2) 15设an是等比数列，公比 q，Sn为an的前 n 项和，记 Tn，nN， 2 17SnS2n an1 设为数
