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1、燕山2014期末1 定义:把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形,我们把这个封闭图形称为“蛋圆”如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线如图,A,B,C,D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为(0,8),AB为半圆的直径,半圆的圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为3(1)请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式 ,自变量的取值范围是 ;(2)请你求出过点C的“蛋圆”切线与x轴的 交点坐标;(3)求经过点D的“蛋圆”切线的解析式.解:(1)“蛋圆”抛物线部分的解析式为, 2分 自变量的取值范围是; 3分 (2)如图,连接,设过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点为 4
2、分 ,在中, 5分 ,点的坐标为(-8.,0) 6分 (3)设过点,“蛋圆”切线的解析式为 由题意得,方程组只有一组解, 7分即有两个相等实根, 过点“蛋圆”切线的解析式为 8分2在平面直角坐标系xOy中,过C上一点P作C的切线l,当入射光线照射在点P处时,产生反射,且满足:反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等,点P称为反射点。规定:光线不能“穿过”C,即当入射光线在C外时,只在圆外进行反射;当入射光线在C内时,只在圆内进行反射。特别地,圆的切线不能作为入射光线和反射光线。光线在C外反射的示意图如图1所示,其中1=2. (1)自C内一点出发的入射光线经C第一次反射后的示意图如图2
3、所示,P1是第1个反射点,请在图2中作出光线经C第二次反射后的反射光线;(2)当O的半径为1时,如图3,第一象限内的一条入射光线平行于x轴,且自O的外部照射在其上点P处,此光线经O反射后,反射光线与y轴平行,则反射光线与切线l的夹角为;自点A(1,0)出发的入射光线,在O内不断地反射,若第1个反射点P1在第二象限,且第12个反射点P12与点A重合,则第一个反射点P1的坐标为;(3)如图4,点M的坐标为(0,2),M的半径为1,第一象限内自点O出发的入射光线经M反射后,反射光线与坐标轴无公共点,求反射点P的纵坐标的取值范围。3 对于半径为r的P及一个正方形给出如下定义:若P上存在到此正方形四条边
4、距离都相等的点,则称P是该正方形的“等距圆”如图1,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的顶点A的坐标为(2,4),顶点C、D在x轴上,且点C在点D的左侧.(1)当r=时,在P1(0,-3),P2(4,6),P3(,2)中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是;若点P在直线y= x+2上,且P是正方形ABCD的“等距圆”,则点P的坐标为;(2)如图2,在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中,正方形EFGH的顶点F的坐标为(6,2),顶点E、H在y轴上,且点H在点E的上方.若P同时为上述两个正方形的“等距圆”,且与BC所在直线相切,求P 在y轴上截得的弦长;将正方形ABCD绕着点D
5、旋转一周,在旋转的过程中,线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心,则r的取值范围是(1)P2,P3;P(-4,6)或P(4,-2);(2);【解析】试题分析:(1)直接根据定义作答(2)根据定义和直线与圆的位置关系求解即可;根据定义列不等式求解即可试题解析:(1)P2,P3;P(-4,6)或P(4,-2)(2)P同时为正方形ABCD与正方形EFGH的“等距圆”,P同时过正方形ABCD的对称中心E和正方形EFGH的对称中心I点P在线段EI的中垂线上A(2,4),正方形ABCD的边CD在x轴上;F(6,2),正方形EFGH的边HE在y轴上,E(0,2),I(3,5)I EH=45,设线段E
6、I的中垂线与y轴交于点L,与x轴交于点M,LIE为等腰直角三角形,LIy轴,L(0,5),LOM为等腰直角三角形,LO=OMM(5,0)P在直线y=-x+5上设P(p,-p+5)过P作PQ直线BC于Q,连结PE,P与BC所在直线相切,PE=PQ,解得:,P过点E,且E点在y轴上,P在y轴上截得的弦长为考点:1正方形的性质;2等腰直角三角形的判定与性质;3圆的性质4勾股定理;5点的坐标4对于两个已知图形G1、G2,在G1上任取一点P,在G2上任取一点Q,当线段PQ的长度最小时,我们称这个最小的长度为G1、G2的“密距”;当线段PQ的长度取最大值时,我们称这个最大的长度为图形G1、G2的“疏距”。
7、请你在学习、理解上述定义的基础上,解决下面的问题:在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(3, 4 ),点B的坐标为(3,4),矩形ABCD的对称中心为点O。(1)线段AD和BC的“密距”是 ;“疏距”是 ;(2)设直线 与x轴、y轴分别交于点E、F,若线段EF与矩形ABCD的“密距”是1,求它们的“疏距”;(3)在平面直角坐标系xOy中有一个四边形KLMN,将矩形ABCD绕点O旋转一周,在旋转过程中,它与四边形KLMN的“疏距”的最大值为7,旋转过程中,它与四边形KLMN的“密距”的取值范围是 ;求四边形KLMN的面积的最大值。5【2014-2015海淀第一学期期末】在平面直角坐标系xOy中
8、,设点P(x1,y1),Q(x2,y2)是图形W上的任意两点定义图形W的测度面积:若| x1-x2|的最大值为m,| y1-y2|的最大值为n,则S=mn 为图形W的测度面积例如,若图形W是半径为1的O当P,Q分别是O与x轴的交点时,如图1,| x1-x2| 取得最大值,且最大值m=2;当P,Q分别是O与y轴的交点时,如图2,| y1-y2|取得最大值,且最大值n=2则图形W的测度面积S=mn=4(1)若图形W是等腰直角三角形ABO,OA=OB=1.如图3,当点A,B在坐标轴上时,它的测度面积S=;如图4,当ABx轴时,它的测度面积S=;(2)若图形W是一个边长为1的正方形ABCD,则此图形测
9、度面积S的最大值为;(3)若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD,求它的测度面积S的取值范围答案: (1) 1; 1(2) 2)6【2014石景山一模】在平面直角坐标系xoy中,对于任意三点A,B,C的“矩面积”,给出如下定义:“水平底”a:任意两点横坐标差的最大值,“铅垂高”h:任意两点纵坐标差的最大值,则“矩面积”S=ah.例如:三点坐标分别为A(1,2),B(-3,1),C(2,-2),则“水平底”a=5,“铅垂高”h=4,“矩面积”S=ah =20(1)已知点A(1,2),B(-3,1),P(0,t)若A,B,P三点的“矩面积”为12,求点P的坐标;直接写出A,B,P三点的“矩面
10、积”的最小值(2)已知点E(4,0),F(0,2),M(m,4m),其中m0,n0.若E,F,M三点的“矩面积”为8,求m的取值范围;直接写出E,F,N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围(答案:(1);4;(2)0m0.5;16,)7【2014怀柔一模】在平面直角坐标系xOy中,已知 A(-2,0),B(2,0),ACAB于点A,AC=2,BDAB于点B,BD=6,以AB为直径的半圆O上有一动点P(不与A、B两点重合),连接PD、PC,我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形,如图1所示.(1)如图2,当P运动到半圆O与y轴的交点位置时,
11、求点P的关联图形的面积. (2)如图3,连接CD、OC、OD,判断OCD的形状,并加以证明. (3)当点P运动到什么位置时,点P的关联图形的面积最大,简要说明理由,并求面积的最大值.(答案:(1)12;(2)(2)判断OCD是直角三角形.(3)8+4)8【2015平谷一模】【20152016延庆期末】设a,b是任意两个不等实数,我们规定:满足不等式axb的实数x的所有取值的全体叫做闭区间,表示为a,b对于一个函数,如果它的自变量x与函数值y满足:当mxn时,有myn,我们就称此函数是闭区间m.n上的“闭函数”如函数y=-x+4,当x=1时,y=3;当x=3时,y=1,即当1x3时,有1y3,所
12、以说函数y=-x+4是闭区间1,3上的“闭函数”(1)反比例函数y=是闭区间1,2015上的“闭函数”吗?请判断并说明理由;(2)若二次函数y=x2-2x-k=是闭区间1,2上的“闭函数”,求k的值;(3)若一次函数y=kx+b(k0)是闭区间m,n上的“闭函数”,求此函数的解析式(用含m,n的代数式表示)(答案:(1)是;(2)k=;(3)y=x或y=-x+m+n)9【2014顺义一模】设p,q都是实数,且pq我们规定:满足不等式pxq的实数x的所;有取值的全体叫做闭区间,表示为p,q对于一个函数,如果它的自变量与函数值y满足:当pxq时,有pyq,我们就称此函数是闭区间p,q上的“闭函数”
13、(1)反比例函数是闭区间1,2014上的“闭函数”吗?请判断并说明理由;(2)若一次函数y=kx+b(k0)是闭区间m,n上的“闭函数”,求此函数的解析式; (3)若实数c,d满足cd,且d2,当二次函数是闭区间c,d上的“闭函数”时,求c,d的值 (4)【2014通州二模 】若二次函数是闭区间a,b上的“闭函数”,直接写出实数a,b 的值.答案:(1)是;(2)或;(3)c=-2,d=6;(4),10【2015清华附中初三月考】若y是关于x的函数,H是常数(H0),若对于此函数图象上的任一两点(x1,y1),(x2,y2),都有|y1-y2|H,则称该函数为有界函数,其中满足条件的所有常数H的最小值,称为该函数的界高。例如:下面所表示的函数的界高为4. (1)若函数y=kx+1(-2x1)的界高为4,求k的值;(2)已知m-2,若函数y=x2(-2xm)的界高为4,求实数m的取值范围;(3)已知a0,函数y=x2-2ax+3a(-2x1)的界高为,求a的值。11【2015丰台二模】对某一个函数给出如下定义:如果存在实数M,对于任意的函数值y,都满足yM,那么称这个函数是有上界函数,在所有满足条件的M中,其最小值称为这个函数的上确界例如,图中的函数是有上界函数,其上确界是2 (1)分别判断函数 ()和y=2x-3(x2)