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1、燕山2014期末1 定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线如图，A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0,8），AB为半圆的直径，半圆的圆心M的坐标为（1,0），半圆半径为3（1）请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式 ，自变量的取值范围是 ；（2）请你求出过点C的“蛋圆”切线与x轴的 交点坐标；（3）求经过点D的“蛋圆”切线的解析式.解：（1）“蛋圆”抛物线部分的解析式为， 2分 自变量的取值范围是； 3分 （2）如图，连接，设过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点为 4
2、分 ，在中， 5分 ，点的坐标为（-8.，0） 6分 （3）设过点，“蛋圆”切线的解析式为 由题意得，方程组只有一组解， 7分即有两个相等实根， 过点“蛋圆”切线的解析式为 8分2在平面直角坐标系xOy中，过C上一点P作C的切线l,当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P称为反射点。规定：光线不能“穿过”C，即当入射光线在C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在C内时，只在圆内进行反射。特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线。光线在C外反射的示意图如图1所示，其中1=2. （1）自C内一点出发的入射光线经C第一次反射后的示意图如图2
3、所示，P1是第1个反射点，请在图2中作出光线经C第二次反射后的反射光线；（2）当O的半径为1时，如图3，第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自O的外部照射在其上点P处，此光线经O反射后，反射光线与y轴平行，则反射光线与切线l的夹角为；自点A(1,0)出发的入射光线，在O内不断地反射，若第1个反射点P1在第二象限，且第12个反射点P12与点A重合，则第一个反射点P1的坐标为；（3）如图4，点M的坐标为（0，2），M的半径为1，第一象限内自点O出发的入射光线经M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围。3 对于半径为r的P及一个正方形给出如下定义：若P上存在到此正方形四条边
4、距离都相等的点，则称P是该正方形的“等距圆”如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧.（1）当r=时，在P1（0，-3），P2（4，6），P3（，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是；若点P在直线y= x+2上，且P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为；（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方.若P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求P 在y轴上截得的弦长；将正方形ABCD绕着点D
5、旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是（1）P2，P3；P（-4，6）或P（4，-2）；（2）；【解析】试题分析：（1）直接根据定义作答（2）根据定义和直线与圆的位置关系求解即可；根据定义列不等式求解即可试题解析：（1）P2，P3；P（-4，6）或P（4，-2）（2）P同时为正方形ABCD与正方形EFGH的“等距圆”，P同时过正方形ABCD的对称中心E和正方形EFGH的对称中心I点P在线段EI的中垂线上A（2，4），正方形ABCD的边CD在x轴上；F（6，2），正方形EFGH的边HE在y轴上，E（0，2），I（3，5）I EH=45，设线段E
6、I的中垂线与y轴交于点L，与x轴交于点M，LIE为等腰直角三角形，LIy轴，L（0，5），LOM为等腰直角三角形，LO=OMM（5，0）P在直线y=-x+5上设P（p，-p+5）过P作PQ直线BC于Q，连结PE，P与BC所在直线相切，PE=PQ，解得：，P过点E，且E点在y轴上，P在y轴上截得的弦长为考点：1正方形的性质；2等腰直角三角形的判定与性质；3圆的性质4勾股定理；5点的坐标4对于两个已知图形G1、G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小的长度为G1、G2的“密距”；当线段PQ的长度取最大值时，我们称这个最大的长度为图形G1、G2的“疏距”。
7、请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面的问题：在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3, 4 ），点B的坐标为（3，4），矩形ABCD的对称中心为点O。（1）线段AD和BC的“密距”是 ；“疏距”是 ；（2）设直线 与x轴、y轴分别交于点E、F，若线段EF与矩形ABCD的“密距”是1，求它们的“疏距”；（3）在平面直角坐标系xOy中有一个四边形KLMN，将矩形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与四边形KLMN的“疏距”的最大值为7，旋转过程中，它与四边形KLMN的“密距”的取值范围是 ；求四边形KLMN的面积的最大值。5【2014-2015海淀第一学期期末】在平面直角坐标系xOy中
8、，设点P(x1,y1)，Q(x2,y2)是图形W上的任意两点定义图形W的测度面积：若| x1-x2|的最大值为m，| y1-y2|的最大值为n，则S=mn 为图形W的测度面积例如，若图形W是半径为1的O当P，Q分别是O与x轴的交点时，如图1，| x1-x2| 取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是O与y轴的交点时，如图2，| y1-y2|取得最大值，且最大值n=2则图形W的测度面积S=mn=4（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1.如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=；如图4，当ABx轴时，它的测度面积S=；（2）若图形W是一个边长为1的正方形ABCD，则此图形测
9、度面积S的最大值为；（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围答案: （1） 1； 1（2） 2）6【2014石景山一模】在平面直角坐标系xoy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah.例如：三点坐标分别为A(1,2)，B(-3,1)，C(2,-2)，则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah =20（1）已知点A(1,2)，B(-3,1)，P(0,t)若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；直接写出A，B，P三点的“矩面
10、积”的最小值（2）已知点E(4,0)，F(0,2)，M(m,4m)，其中m0，n0.若E,F,M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；直接写出E,F,N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围（答案：（1）；4；（2）0m0.5；16，）7【2014怀柔一模】在平面直角坐标系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，ACAB于点A，AC=2，BDAB于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示.（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，
11、求点P的关联图形的面积. （2）如图3，连接CD、OC、OD,判断OCD的形状，并加以证明. （3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.（答案：（1）12；（2）（2）判断OCD是直角三角形.（3）8+4）8【2015平谷一模】【20152016延庆期末】设a,b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式axb的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为a,b对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当mxn时，有myn,我们就称此函数是闭区间m.n上的“闭函数”如函数y=-x+4，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当1x3时，有1y3，所
12、以说函数y=-x+4是闭区间1,3上的“闭函数”（1）反比例函数y=是闭区间1,2015上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若二次函数y=x2-2x-k=是闭区间1,2上的“闭函数”，求k的值；（3）若一次函数y=kx+b(k0)是闭区间m,n上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m，n的代数式表示）（答案：（1）是；（2）k=；（3）y=x或y=-x+m+n）9【2014顺义一模】设p,q都是实数，且pq我们规定：满足不等式pxq的实数x的所;有取值的全体叫做闭区间，表示为p,q对于一个函数，如果它的自变量与函数值y满足：当pxq时，有pyq，我们就称此函数是闭区间p,q上的“闭函数”
13、（1）反比例函数是闭区间1,2014上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y=kx+b(k0)是闭区间m,n上的“闭函数”，求此函数的解析式； （3）若实数c，d满足cd，且d2，当二次函数是闭区间c,d上的“闭函数”时，求c，d的值 (4)【2014通州二模 】若二次函数是闭区间a,b上的“闭函数”，直接写出实数a，b 的值.答案：（1）是；（2）或；（3）c=-2,d=6;（4），10【2015清华附中初三月考】若y是关于x的函数，H是常数（H0），若对于此函数图象上的任一两点（x1，y1），（x2，y2），都有|y1-y2|H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的最小值，称为该函数的界高。例如：下面所表示的函数的界高为4. （1）若函数y=kx+1（-2x1）的界高为4，求k的值；（2）已知m-2，若函数y=x2（-2xm）的界高为4，求实数m的取值范围；（3）已知a0，函数y=x2-2ax+3a（-2x1）的界高为，求a的值。11【2015丰台二模】对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足yM，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2 （1）分别判断函数 （）和y=2x-3（x2）
