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1、2016年温州中学自主招生 数学模拟试卷2016.2（本卷满分：150分 考试时间：90分钟）注：不得使用计算器及其他任何电子产品一、单项选择题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1. 气象台预报：“本市明天降水概率是80%”，但据经验，气象台预报的准确率仅为80%，则在此经验下，本市明天降水的概率为( )A、84% B、80% C、68% D、64%2. 如图，已知的平分线分别与边BC、的外接圆交于点D、M，过D任作一条与直线BC不重合的直线l，直线l分别与直线MB、MC交于点P、Q，下列判断不正确的是( )A无论直线l的位置如何，总有直线PM与的外接圆相切B无论直线l的位置如何，总有C直
2、线l选取适当的位置，可使A、P、M、Q四点共圆第2题D直线l选取适当的位置，可使3. 欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n的最小值为( )A6 B7 C8 D94. 将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则( )A存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形B存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形C存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形D任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形5. 已知实系数二次函数与，和有两重根
3、，有两相异实根，则( )A有两相异实根 B有两相同实根 C没有实根 D没有有理根二、填空题（本大题分10小题，每题6分，共60分）6. 设正数x、y、z满足方程组则xy+2yz+3zx的值为 7. 已知ABCD是一个正方形，点M(异于点B、C)在边BC上，线段AM的垂直平分线l分别交AB、CD于点E、F若AB=1，则的取值范围为 8. 已知实数a，b，c，d满足2a2+3c2=2b2+3d2=(ad-bc)2=6，则(a2+b2)(c2+d2)的值为 9. 由两个不大于100的正整数m，n组成的整数对(m,n)中，满足：的有 对10. 甲、乙两人在一个55的方格纸上玩填数游戏：甲先填且两人轮流
4、在空格中填数，甲每次选择一个空格写上数字1，乙每次选择一个空格写上数字0，填完后计算每个33正方形内9个数之和，并将这些和数中的最大数记为A，甲尽量使A增大，乙尽量使A减小，则甲可使A获得的最大值是 第12题11. 一个锐角，三点H、O、I分别是的垂心、外心和内心，若BH=OI，则= 12. 设ABC的内切圆O与边CA上的中线BM交于点G、H，并且点G在点B和点H之间已知BG=HM，AB=2则GH的最大值为 13. 设a、b为实数，函数满足：对任意x0,1，有，则的取值范围为 14. 已知抛物线y2=6x上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2)，其中x1x2且x1+x2=4线段AB的垂直
5、平分线与x轴交于点C，则的最大值为 15. 将一个33的正方形的四个角上各去掉一个单位正方形所得到的图形称为“十字形”在一个1011的棋盘上，最多可以放置 个互不重叠的“十字形”(每个“十字形”恰好盖住棋盘上的5个小方格)三、解答题（本大题分5小题，16题10分，1720题每题15分，共70分）16. 三角形的三边之长是某个系数为有理数的三次方程的根证明：该三角形的高是某个系数为有理数的六次方程的根17. 已知ABC内有n个点(无三点共线)，连同A、B、C共n+3个点以这些点为顶点把ABC分成若干个互不重叠的小三角形现把A，B，C分别染成红色、蓝色、黄色，而其余n个点，每个点任意染上红、蓝、黄
6、三色之一求证：三顶点都不同色的小三角形的总数必是奇数18. 设奇数a，b，c，d满足0abcAC，内切圆I与边BC切于点D，AD与I的另一个交点为E，I的切线EP与BC的延长线交于点P，CFPE且与AD交于点F，直线BF与I交于点M、N，M在线段BF上，线段PM与I交于另一点Q证明：ENP=ENQ第20题2016年温州中学自主招生 数学模拟试卷参 考 答 案 及 评 分 建 议一、单项选择题（本大题分5小题，每题4分，共20分） 15 C C B D C二、简答题(本大题分10小题，每空6分，共60分)本大题评分建议：若数字书写不清晰，不给分6、 7、 8、 6 9、 171 10、 6 11
7、、 40 12、 13、 -2, 14、 15、 15 三、分析解答题(本大题分5小题，16题10分，1720题每题15分，共70分)16、(10分)(可能有多种解法) 证明 (3分)故得证！ (10分)(7分)17、(15分)(可能有多种解法)证明把这些小三角形的边进行赋值：边的端点同色的，赋值0；边的端点不同色的，赋值1于是每个小三角形的三边之和有如下三种情形：(3分)(1)三顶点都不同色的，和为3；(2)恰有两顶点同色的，和为2；(3)三顶点都同色的，和为0(6分)设所有小三角形的边赋值之和为S，上述三种情形的三类小三角形的个数分别为a，b，c，于是S=3a+2b+0c=3a+2b(9分
8、)而注意到所有小三角形的边的赋值之和中，除了AB，BC，CA边外，其余的边都被算了两次，所以它们赋值之和为偶数，再加上AB，BC，CA三边赋值之和为3，所以S是奇数(14分)因此a是奇数即三顶点都不同色的小三角形总数为奇数(15分)18、(15分)(可能有多种解法)解km(2分)把，代入ad=bc，有 (1)，由(1)可得(4分)即， (2)(5分)已知a，b都是奇数，所以a+b，a-b都是偶数，又是奇数的2倍，故b+a，b-a中必有一个不是4的倍数(7分)由(2)必有或其中，e，f为正整数，且是奇数，与(2)比较可得(9分)由于km，故从而e=1，考虑前一情况，有(11分)由第二式可得 ，故 ，所以奇数a=1(13分)对于后一情况，可作类似的讨论(15分)19、(15分)(解法可能有多种，给分分为4档：0分、5分、10分、15分，注：学生可能用“易证”、“可证”等词骗取分数，此题需慢改) (5分) (10分) (15分) (5分) 第20题(10分) (15分) 20、(15分)(解法可能有多种，给分分为4档：0分、5分、10分、15分， 注：学生可能用“易证”、“可证”等词骗取分数，此题需慢改)(10分) 证明 略(15分) (5分) (15分) (5分)
