《2019届高考数学（北师大版文）大一轮复习讲义：第九章 平面解析几何 第1讲 直线的方程.1 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学（北师大版文）大一轮复习讲义：第九章 平面解析几何 第1讲 直线的方程.1 （17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、9.1 直线的方程直线的方程 最新考纲考情考向分析 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线 位置的几何要素 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的 直线斜率的计算公式 3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的 几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一 般式)，了解斜截式与一次函数的关系. 以考查直线方程的求法为主，直 线的斜率、倾斜角也是考查的重 点题型主要在解答题中与圆、 圆锥曲线等知识交汇出现，有时 也会在选择、填空题中出现. 1直线的倾斜角 (1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的 角叫作直线 l 的
2、倾斜角当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0. (2)范围：直线 l 倾斜角的范围是0，180) 2斜率公式 (1)若直线 l 的倾斜角 90，则斜率 ktan_. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上且 x1x2，则 l 的斜率 k. y2y1 x2x1 3直线方程的五种形式 名称方程适用范围 点斜式yy0k(xx0)不含直线 xx0 斜截式ykxb不含垂直于 x 轴的直线 两点式 yy1 y2y1 xx1 x2x1 不含直线 xx1 (x1x2)和直线 yy1 (y1y2) 截距式 1 x a y b 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式AxByC
3、0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率( ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大( ) (4)若直线的斜率为 tan ，则其倾斜角为 .( ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等( ) (6)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1) (y2y1)表示( ) 题组二 教材改编 2若过点 M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值
4、为( ) A1 B4 C1 或 3 D1 或 4 答案 A 解析 由题意得1，解得 m1. m4 2m 3经过点 M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( ) Axy2 Bxy1 Cx1 或 y1 Dxy2 或 xy 答案 D 解析 若直线过原点，则直线为 yx，符合题意， 若直线不过原点，设直线为 1，代入点(1,1)，解得 m2，直线方程整理得 x m y m xy20，故选 D. 题组三 易错自纠 4(2018石家庄模拟)直线 x(a21)y10 的倾斜角的取值范围是( ) A.B. 0， 4 3 4 ，) C.D. 0， 4 ( 2，) 4， 2) 3 4 ，) 答案 B 解析
5、 由直线方程可得该直线的斜率为， 1 a21 又10，在 y 轴上的截距 0，故直 C A C B 线经过第一、二、四象限，不经过第三象限 6过直线 l：yx 上的点 P(2,2)作直线 m，若直线 l，m 与 x 轴围成的三角形的面积为 2， 则直线 m 的方程为_ 答案 x2y20 或 x2 解析 若直线 m 的斜率不存在，则直线 m 的方程为 x2，直线 m，直线 l 和 x 轴围成的 三角形的面积为 2，符合题意； 若直线 m 的斜率 k0，则直线 m 与 x 轴没有交点，不符合题意； 若直线 m 的斜率 k0，设其方程为 y2k(x2)，令 y0，得 x2 ，依题意有 2 k 1 2
6、 22，即1，解得 k ，所以直线 m 的方程为 y2 (x2)，即 |2 2 k| |1 1 k| 1 2 1 2 x2y20. 综上可知，直线 m 的方程为 x2y20 或 x2. 题型一题型一 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率 典例 (1)直线 2xcos y30的倾斜角的取值范围是 ( ) ( 6， 3) A.B. 6， 3 4， 3 C.D. 4， 2 4， 2 3 答案 B 解析 直线 2xcos y30 的斜率 k2cos ， 因为 ，所以 cos ， 6， 3 1 2 3 2 因此 k2cos 1， 3 设直线的倾斜角为 ，则有 tan 1， 3 又 0，)，所以 ， 4，
7、 3 即倾斜角的取值范围是. 4， 3 (2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取 3 值范围为_ 答案 (，1，) 3 解析 如图，kAP1， 10 21 kBP， 30 013 k(， 1，) 3 引申探究 1若将本例(2)中 P(1,0)改为 P(1,0)，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围 解 P(1,0)，A(2,1)，B(0，)， 3 kAP ， 10 21 1 3 kBP. 30 013 如图可知，直线 l 斜率的取值范围为. 1 3， 3 2若将本例(2)中的 B 点坐标改为(2，1)，其他条件不变，求直
8、线 l 倾斜角的取值范围 解 如图，直线 PA 的倾斜角为 45， 直线 PB 的倾斜角为 135， 由图像知 l 的倾斜角的范围为0，45135，180) 思维升华直线倾斜角的范围是0，)，根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种 0， 2) ( 2，) 情况讨论 跟踪训练 (2017南昌月考)已知过定点 P(2,0)的直线 l 与曲线 y相交于 A，B 两点， 2x2 O 为坐标原点，当AOB 的面积取到最大值时，直线 l 的倾斜角为( ) A150 B135 C120 D不存在 答案 A 解析 由 y，得 x2y22(y0)，它表示以原点 O 为圆心，以为半径的圆的一 2x22 部分，其图像
9、如图所示 显然直线 l 的斜率存在， 设过点 P(2,0)的直线 l 为 yk(x2)， 则圆心到此直线的距离 d， |2k| 1k2 弦长|AB|22， 2( |2k| 1k2)2 22k2 1k2 所以 SAOB 2 1 2 |2k| 1k2 22k2 1k2 1， 2k222k2 21k2 当且仅当(2k)222k2，即 k2 时等号成立， 1 3 由图可得 k， 3 3(k 3 3 舍去) 故直线 l 的倾斜角为 150. 题型二题型二 求直线的方程求直线的方程 典例 (1)求过点 A(1,3)，斜率是直线 y4x 的斜率的 的直线方程； 1 3 (2)求经过点 A(5,2)，且在 x
10、 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程 解 (1)设所求直线的斜率为 k， 依题意 k4 . 1 3 4 3 又直线经过点 A(1,3)， 因此所求直线方程为 y3 (x1)， 4 3 即 4x3y130. (2)当直线不过原点时，设所求直线方程为 1，将(5,2)代入所设方程，解得 x 2a y a a ，所以直线方程为 x2y10；当直线过原点时，设直线方程为 ykx，则 1 2 5k2，解得 k ，所以直线方程为 y x，即 2x5y0. 2 5 2 5 故所求直线方程为 2x5y0 或 x2y10. 思维升华在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的
11、适用条 件若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率 不存在的情况 跟踪训练根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为； 10 10 (2)经过点 P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5,10)，到原点的距离为 5. 解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式 设倾斜角为 ，则 sin (00，b0， 直线 l 的方程为 1，所以 1. x a y b 2 a 1 b |(a2，1)(2，b1) MA MB MA MB 2(a2)b12ab5 (2ab)54， ( 2 a 1 b) 2b a 2a b
12、当且仅当 ab3 时取等号，此时直线 l 的方程为 xy30. 命题点 2 由直线方程解决参数问题 典例已知直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 0a2 时，直线 l1，l2与两 坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数 a 的值 解 由题意知直线 l1，l2恒过定点 P(2,2)，直线 l1在 y 轴上的截距为 2a，直线 l2在 x 轴 上的截距为 a22，所以四边形的面积 S 2(2a) 2(a22) 1 2 1 2 a2a4 2 ，当 a 时，四边形的面积最小 (a 1 2) 15 4 1 2 思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直
13、线方程有关的最值问题先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式 求解最值 (2)求直线方程弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程 (3)求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性 或基本不等式求解 跟踪训练已知直线 l 过点 P(3,2)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，如图所示， 求ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程 解 方法一 设直线方程为 1(a0，b0)， x a y b 把点 P(3,2)代入得 12，得 ab24， 3 a 2 b 6 ab 从而 SAOB ab12，当且仅当 时等号成立，这时
14、k ，从而所求直线方程 1 2 3 a 2 b b a 2 3 为 2x3y120. 方法二 由题意知，直线 l 的斜率 k 存在且 k0，b0 时，a0，cos 0，sin cos ， 3 5 5 由解得Error!Error! tan 2，即 l 的斜率为2，故选 D. 16(2018 届江西新余第一中学模拟)在平面直角坐标系中，如果 x 与 y 都是整数，就称点 (x，y)为整点，下列命题中正确的是_(写出所有正确命题的编号) 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； 若 k 与 b 都是无理数，则直线 ykxb 不经过任何整点； 直线 l 经过无穷多个整点，当且仅当 l 经过两个不同的整点； 直线 ykxb 经过无穷多个整点的充要条件是 k 与 b 都是有理数； 存在恰经过一个整点的直线 答案 解析 对于，比如直线 yx，当 x 取整数时，y 始终是一个无理数，即直线 23 yx既不与坐标轴平行又不经过任何整点，正确；对于，直线 yx中 k 2322 与 b 都是无理数，但直线经过整点(1,0)，错误；对于，
