《2018大二轮高考总复习理数文档：解答题8 第2课时 导数与函数的零点（或方程的根） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018大二轮高考总复习理数文档：解答题8 第2课时 导数与函数的零点（或方程的根） （13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二单元 高考压轴大题冲关 第二课时第二课时 导数与函数的零点导数与函数的零点(或方程的根或方程的根) 基本考点导数与函数的零点(或方程的根) 利用导数研究方程根(零点)问题的思路 (1)将问题转化为函数的方程根(零点)问题，进而转化为函数图象与 x 轴(或直线 yk) 的交点问题； (2)利用导数研究该函数在给定区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质； (3)画出函数的大致图象； (4)结合图象求解 (2017桂林二模)设函数 f(x)exax，a 是常数.阿凡题1083976 (1)若 a1，且曲线 yf(x)的切线 l 经过坐标原点(0,0)，求该切线的方程； (2)讨论 f(x)的
2、零点的个数 思路点拨 (1)求出函数的导数，表示出切线方程，求出 m 的值，从而求出切线方程 即可； (2)求出函数 f(x)的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的 零点个数即可 【解】 (1)a1 时，f(x)exx，f(x)ex1， 设切点坐标是(m，emm)，则 kf(m)em1， 故切线方程是：y(emm)(em1)(xm) ， 由 0(emm)(em1)(0m)，得 m1， 所求切线为：y(e1)x (2)f(x)exa，当 a0 时，由 f(x)0 得 xln a， a0 时，若 xln a，则 f(x)0；若 xln a，则 f(x)0 函数 f(x)在
3、区间(，ln a)单调递减，在区间(ln a，)单调递增， f(x)的最小值为 f(ln a)a(1ln a)， (i)0ae 时，f(ln a)a(1ln a)0，f(x)无零点； (ii)ae 时，f(ln a)a(1ln a)0，f(x)只有一个零点， (iii)ae 时，f(ln a)a(1ln a)0，根据 f(0)10 与函数的单调性， f(x)在区间(，ln a)和(ln a，)各有一个零点， f(x)共有两个零点； a0 时，f(x)ex，f(x)无零点； a0 时，由 f(x)0 得，exax，曲线 yex与 yax 只有一个交点，所以 f(x)只有一 个零点 综上所述，0a
4、e 时，f(x)无零点；a0 或 ae 时，f(x)有一个零点；ae 时，f(x) 有两个零点 对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解这类问题 求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点； (3)画出函数草图； (4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与 x 轴的交点情况进而求解 (2017全国卷)已知函数 f(x)ae2x(a2)exx.阿凡题1083977 (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围 【解】 (1)f(x)的定义域为(，)， f(x)2ae2
5、x(a2)ex1(aex1)(2ex1) ()若 a0，则 f(x)0，则由 f(x)0 得 xln a 当 x(，ln a)时，f(x)0 所以 f(x)在(，ln a)单调递减，在(ln a，)单调递增 (2)()若 a0，由(1)知，f(x)至多有一个零点，与题设不符 ()若 a0，由(1)知，当 xln a 时，f(x)取得最小值，最小值为 f(ln a)1 ln 1 a a 当 a1 时，由于 f(ln a)0，故 f(x)只有一个零点，与题设不符； 当 a(1，)时，由于 1 ln a0， 1 a 即 f(ln a)0，故 f(x)没有零点，与题设不符； 当 a(0,1)时，1 l
6、n a2e220， 故 f(x)在(，ln a)有一个零点 设正整数 n0满足 n0ln 1， 3 a 则 f(n0)en0(aen0a2)n0en0n02n0n00 由于 ln 1ln a， 3 a 因此 f(x)在(ln a，)有一个零点 综上，a 的取值范围为(0,1) 研究方程的根(或函数零点)的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小 值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根(函数零点)的情况，这是导数这一工 具在研究方程中的重要应用 1(2017清远一模)设函数 f(x)eaxln x，其中 a0,0 ，e 是自然对数的底 1 e 数 (1)求证：函数 f(x)有两个
7、极值点； (2)若ea0，求证：函数 f(x)有唯一零点 证明：(1)f(x)aeax ，(x0)， x axeax x 令 g(x)axeax，其中 a0，x0， 求导得 g(x)aeax(1ax)，令 g(x)0，解得：x ， 1 a x时，g(x)0，g(x)递减， (0， 1 a) x时，g(x)0，g(x)递增， ( 1 a，) x 时，g(x)取得极小值，也是最小值 g ， 1 a ( 1 a) 1 e 0 ，g 0，又 g(0)0， 1 e ( 1 a) 1 e gg(0)0， ( 1 a) 函数 f(x)有两个极值点； (2)由(1)得：不妨令 x2，故 ax2eax20， (
8、 1 a，) 故 f(x2)(1ax2ln x2)eax2， 令 h(x)1axln x，x， ( 1 a，) h(x)a(ln x1)a0， (ln 1 e1) f(x2)0，f(0)负数， 函数 f(x)有唯一零点 2(2017东北三省四市二模)已知函数 f(x)(x1)exax2有两个零点 (1)当 a1 时，求 f(x)的最小值； (2)求 a 的取值范围； (3)设 x1，x2是 f(x)的两个零点，证明：x1x20 (1)解：a1 时，f(x)(x1)exx2，f(x)xex2xx(ex2)， 令 f(x)0，解得：x0，令 f(x)0，解得：x0， 故函数 f(x)在(，0)递减
9、，在(0，)递增； 故 f(x)的最小值是 f(0)1； (2)解：f(x)xex2axx(ex2a)， 当 a0 时，函数 f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增 f(0)10，f(2)e24a0， 取实数 b 满足 b2 且 bln a， 则 f(b)a(b1)ab2a(b2b1)a(421)0， 所以 f(x)有两个零点 若 a0，则 f(x)(x1)ex，故 f(x)只有一个零点， 若 a0，当 a ，则 f(x)在(0，)单调递增， 1 2 又当 x0 时，f(x)0，故 f(x)不存在两个零点； 当 a ，则函数在(ln(2a)，)单调递增，在(0，ln(2a)单调递减；
10、1 2 又当 x1 时，f(x)0，故不存在两个零点； 综上所述，a 的取值范围是(0，) (3)证明：不妨设 x1x2.由(2)知 x1(，0)，x2(0，)，x2(，0)， 则 x1x20 等价于 x1x2 因为函数 f(x)在(，0)单调递减， 所以 x1x2等价于 f(x1)f(x2)， 即证明 f(x2)0 由 f(x2)(x21)ex2ax 0， 2 2 得 ax (1x2)ex2， 2 2 f(x2)(x21)ex2ax (x21)ex2(1x2)ex2， 2 2 令 g(x)(x1)ex(1x)ex，x(0，)， g(x)x(exex)0，g(x)在(0，)单调递减， 又 g(
11、0)0，所以 g(x)0， 所以 f(x2)0，即原命题成立 1(2017南平一模)已知函数 f(x)ln x(a，bR) bax x (1)试讨论函数 f(x)的单调区间与极值； (2)若 b0 且 ln ba1，设 g(b)m(mR)，且函数 g(x)有两个零点，求实数 a1 b m 的取值范围 解：(1)f(x)ln x，求导 f(x) (x0) bax x b x2 1 x xb x2 当 b0 时，f(x)0 恒成立，函数 f(x)单调递增， 所以 f(x)的增区间为(0，)，无极值； 当 b0 时，x(0，b)时，f(x)0，函数 f(x)单调递减，x(b，)时函数 f(x)单 调
12、递增， 所以函数的单调减区间为(0，b)，函数的单调增区间为(b，)， 有极小值 f(b)1aln b，无极大值 (2)法一 由 b0 且 ln ba1， 代入 g(b)m，可得：g(b)m (b0) a1 b ln b b 所以 g(x)m，x0，g(x)， ln x x 1ln x x2 当 x(0，e)时，g(x)0，所以函数 g(x)在(0，e)递增， 当 x(e，)时，g(x)0，所以函数 g(x)在(e，)递减， g(x)有极大值 g(e) m， 1 e 当 x0(x0)时，g(x)，当 x时，g(x)m， 故函数 g(x)有两个零点，需Error!Error!， 解得：0m ，
13、1 e 所以实数 m 的取值范围为 (0， 1 e) 法二 由 b0 且 ln ba1，代入 g(b)m， a1 b 可得：g(b)m (b0) ln b b 所以：g(x)m，x0， ln x x 由 g(x)0，可得 ln xmx，即 ln xmx0， 函数 g(x)有两个零点，即方程 ln xmx0，在(0，)有两个解， 设 h(x)ln xmx，b0，h(x) m， 1 x 当 m0 时，h(x)0，h(x)在(0，)单调递增，不合题意，舍去 当 m0 时，由 h(x)0，得 x ，由 h(x)0， 1 m 得 x ， 1 m 所以 h(x)在递增，在递减， (0， 1 m) ( 1
14、m，) 方程 ln xmx0，在(0，)有两个解， 只需：h0，即：ln 10， ( 1 m) 1 m 解得：0m ， 1 e 所以实数 m 的取值范围为： (0， 1 e) 2(2016江苏卷)已知函数 f(x)axbx(a0，b0，a1，b1) (1)设 a2，b 1 2 求方程 f(x)2 的根； 若对任意 xR，不等式 f(2x)mf(x)6 恒成立，求实数 m 的最大值； (2)若 0a1，b1，函数 g(x)f(x)2 有且只有 1 个零点，求 ab 的值 解：(1)因为 a2，b ，所以 f(x)2x2x 1 2 方程 f(x)2，即 2x2x2， 两边同乘 2x得(2x)222x10， 所以(2x1)20，即 2x1，解得 x0 由条件知 f(2x)22x22x(2x2x)22(f(x)22 因为 f(2x)mf(x)6 对于 xR 恒成立，且 f(x)0，所以 m对于 xR 恒成 fx24 fx 立 而f(x)24，且4， fx24 fx 4 fx
