《2019届高考数学（北师大版文）大一轮复习配套练习：第十三章 系列4选讲 第二节 第2讲 不等式的证明 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学（北师大版文）大一轮复习配套练习：第十三章 系列4选讲 第二节 第2讲 不等式的证明 （4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 2 讲 不等式的证明 1设不等式|2x1|1 的解集为 M. (1)求集合 M； (2)若 a，bM，试比较 ab1 与 ab 的大小 解 (1)由|2x1|1 得12x11， 解得 0x1.所以 Mx|0x1 (2)由(1)和 a，bM 可知 0a1,0b1， 所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0. 故 ab1ab. 2已知 a，b，c 均为正实数，且互不相等，且 abc1，求证： . abc 1 a 1 b 1 c 证明 法一 a，b，c 均为正实数，且互不相等，且 abc1， . abc 1 bc 1 ca 1 ab 1 b 1 c 2 1 c 1 a 2 1 a 1 b 2 1
2、 a 1 b 1 c . abc 1 a 1 b 1 c 法二 22； 1 a 1 b 1 abc 22； 22. 1 b 1 c 1 bca 1 c 1 a 1 acb 以上三式相加，得 . 1 a 1 b 1 cabc 又a，b，c 互不相等， . 1 a 1 b 1 cabc 法三 a，b，c 是不等正数，且 abc1， bccaab 1 a 1 b 1 c bcca 2 caab 2 abbc 2abc2a2bcab2ca . bc . abc 1 a 1 b 1 c 3(2017衡阳二联)已知函数 f(x)|x3|. (1)若不等式 f(x1)f(x)a 的解集为空集，求实数 a 的
3、取值范围； (2)若|a|1，|b|3，且 a0，判断与 f的大小，并说明理由 fab |a| ( b a) 解 (1)因为 f(x1)f(x)|x4|x3|x43x|1， 不等式 f(x1)f(x)a 的解集为空集， 则 1a 即可， 所以实数 a 的取值范围是(，1 (2)f. fab |a| ( b a) 证明：要证f， fab |a| ( b a) 只需证|ab3|b3a|， 即证(ab3)2(b3a)2， 又(ab3)2(b3a)2a2b29a2b29(a21)(b29) 因为|a|1，|b|3，所以(ab3)2(b3a)2成立， 所以原不等式成立 4(2015陕西卷)已知关于 x
4、的不等式|xa|b 的解集为x|2x4 (1)求实数 a，b 的值； (2)求的最大值 at12bt 解 (1)由|xa|b，得baxba， 则Error!Error!解得Error!Error! (2) 3t12t3 4tt 3212 4t2 t2 24， 4tt 当且仅当，即 t1 时等号成立， 4t 3 t 1 故()max4. 3t12t 5(2015全国卷)设 a，b，c，d 均为正数，且 abcd.证明： (1)若 abcd，则； abcd (2)是|ab|cd|的充要条件 abcd 证明 (1)因为()2ab2，()2cd2，由题设 ababcdcd abcd，abcd 得()2
5、()2.因此. abcdabcd (2)若|ab|cd|， 则(ab)2(cd)2, 即(ab)24ab(cd)24cd. 因为 abcd，所以 abcd. 由(1)得. abcd 若， abcd 则()2()2， abcd 即 ab2cd2. abcd 因为 abcd，所以 abcd， 于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2. 因此|ab|cd|. 综上，是|ab|cd|的充要条件 abcd 6已知 a，b，c 均为正实数求证： (1)(ab)(abc2)4abc； (2)若 abc3，则3. a1b1c12 证明 (1)要证(ab)(abc2)4abc， 可证 a2bac2ab2bc24abc0， 需证 b(a2c22ac)a(c2b22bc)0， 即证 b(ac)2a(cb)20，当且仅当 abc 时，取等号， 由已知，上式显然成立，故不等式(ab)(abc2)4abc 成立 (2)因为 a，b，c 均为正实数，由不等式的性质知 ，当且仅当 a12 时，取等号， a12 a12 2 a3 2 ，当且仅当 b12 时，取等号， b12 b12 2 b3 2 ，当且仅当 c12 时，取等号， c12 c12 2 c3 2 以上三式相加，得()6， 2a1b1c1 abc9 2 所以3，当且仅当 abc1 时，取等号 a1b1c12
