《2019届高考数学（北师大版文）大一轮复习配套练习：第九章 平面解析几何 第8讲 第2课时 定点、定值、范围、最值问题 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届高考数学（北师大版文）大一轮复习配套练习：第九章 平面解析几何 第8讲 第2课时 定点、定值、范围、最值问题 （9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 2 课时 定点、定值、范围、最值问题 一、选择题 1设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点， 则直线 l 的斜率的取值范围是 ( ) A. B2,2 1 2， 1 2 C1,1 D4,4 解析 Q(2,0)，设直线 l 的方程为 yk(x2)，代入抛物线方程，消去 y 整理得 k2x2(4k28)x4k20，由 (4k28)24k24k264(1k2)0，解得 1k1. 答案 C 2(2017石家庄模拟)已知 P 为双曲线 C：1 上的点，点 M 满足|1， x2 9 y2 16 OM 且0，则当|取得最小值时点 P 到双曲线 C 的渐近线
2、的距离为 OM PM PM ( ) A. B. C4 D5 9 5 12 5 解析 由0，得 OMPM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为 OM PM 求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点 P 的位置为双曲线的顶点(3,0)，而双 曲线的渐近线为 4x3y0，所求的距离 d，故选 B. 12 5 答案 B 3已知椭圆 C 的方程为1(m0)，如果直线 yx 与椭圆的一个交点 M x2 16 y2 m2 2 2 在 x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F，则 m 的值为 ( ) A2 B2 C8 D2 23 解析 根据已知条件得 c，则点(，)在椭圆 16m216m2 2 216
3、m2 1(m0)上， x2 16 y2 m2 1，可得 m2. 16m2 16 16m2 2m22 答案 B 4若双曲线1(a0，b0)的渐近线与抛物线 yx22 有公共点，则此双 x2 a2 y2 b2 曲线的离心率的取值范围是 ( ) A3，) B(3，) C(1,3 D(1,3) 解析 依题意可知双曲线渐近线方程为 y x，与抛物线方程联立消去 y 得 x2 b a x20. b a 渐近线与抛物线有交点，80，求得 b2 a2 b28a2，c3a，e 3. a2b2 c a 答案 A 5(2017宝鸡一模)斜率为 1 的直线 l 与椭圆y21 相交于 A，B 两点，则|AB|的 x2
4、4 最大值为 ( ) A2 B. C. D. 4 5 5 4 10 5 8 10 5 解析 设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 直线 l 的方程为 yxt，由Error!Error!消去 y， 得 5x28tx4(t21)0， 则 x1x2 t，x1x2. 8 5 4t21 5 |AB|x1x2| 1k21k2x1x224x1x2 ， 2 ( 8 5t)24 4t21 5 4 2 55t2 当 t0 时，|AB|max. 4 10 5 答案 C 二、填空题 6已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是 yx，它的一个焦点 x2 a2 y2 b23 与抛物线 y216
5、x 的焦点相同，则双曲线的方程为_ 解析 由条件知双曲线的焦点为(4,0)， 所以Error!Error!解得 a2，b2， 3 故双曲线方程为1. x2 4 y2 12 答案 1 x2 4 y2 12 7已知动点 P(x，y)在椭圆1 上，若 A 点坐标为(3,0)，|1， x2 25 y2 16 AM 且0，则|的最小值是_ PM AM PM 解析 0，. PM AM AM PM |2|2|2|21， PM AP AM AP 椭圆右顶点到右焦点 A 的距离最小， 故|min2，|min. AP PM 3 答案 3 8(2017平顶山模拟)若双曲线 x21(b0)的一条渐近线与圆 x2(y2
6、)21 至 y2 b2 多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_ 解析 双曲线的渐近线方程为 ybx，则有1，解得 b23，则 |02| 1b2 e21b24，e1，1e2. 答案 (1,2 三、解答题 9.如图，椭圆 E：1(ab0)的离心率是，点 P(0,1)在短轴 CD 上，且 x2 a2 y2 b2 2 2 PC 1. PD (1)求椭圆 E 的方程； (2)设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A，B 两点是否存在常数 ， 使得为定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由 OA OB PA PB 解 (1)由已知，点 C，D 的坐标分别为(0，b)，(0，b) 又点
7、 P 的坐标为(0,1)，且1， PC PD 于是Error!Error!解得 a2，b. 2 所以椭圆 E 方程为1. x2 4 y2 2 (2)当直线 AB 的斜率存在时， 设直线 AB 的方程为 ykx1， A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) 联立Error!Error!得(2k21)x24kx20. 其判别式 (4k)28(2k21)0， 所以，x1x2，x1x2. 4k 2k21 2 2k21 从而，x1x2y1y2 OA OB PA PB x1x2(y11)(y21) (1)(1k2)x1x2k(x1x2)1 2. 24k221 2k21 1 2k21 所以，当 1
8、 时，23. 1 2k21 此时，3 为定值 OA OB PA PB 当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD， 此时 OA OB PA PB OC OD PC PD 213， 故存在常数 1，使得为定值3. OA OB PA PB 10(2016浙江卷)如图，设椭圆y21(a1) x2 a2 (1)求直线 ykx1 被椭圆截得的线段长(用 a，k 表示)； (2)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值 范围 解 (1)设直线 ykx1 被椭圆截得的线段为 AM，由Error!Error!得(1a2k2) x22a2kx0. 故 x10，
9、x2， 2a2k 1a2k2 因此|AM|x1x2|. 1k2 2a2|k| 1a2k21k2 (2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的 点 P，Q，满足|AP|AQ|. 记直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2，且 k1，k20，k1k2. 由(1)知|AP|，|AQ|， 2a2|k1| 1k2 1 1a2k2 1 2a2|k2| 1k2 2 1a2k2 2 故， 2a2|k1| 1k2 1 1a2k2 1 2a2|k2| 1k2 2 1a2k2 2 所以(k k )1k k a2(2a2)k k 0. 2 12 22 12 22 1 2 2 由
10、于 k1k2，k1，k20 得 1k k a2(2a2)k k 0， 2 12 22 1 2 2 因此1a2(a22)， ( 1 k2 11)( 1 k2 21) 因为式关于 k1，k2的方程有解的充要条件是 1a2(a22)1，所以 a. 2 因此，任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 1a ， 2 由 e 得，所求离心率的取值范围是. c a a21 a (0， 2 2) 11(2016湖南师大附中月考)设双曲线 C：1(a0，b0)的一条渐近线与 x2 a2 y2 b2 抛物线 y2x 的一个交点的横坐标为 x0，若 x01，则双曲线 C 的离心率 e
11、的取 值范围是 ( ) A. B(，) (1， 6 2)2 C(1，) D. 2 ( 6 2 ，) 解析 不妨联立 y x 与 y2x 的方程，消去 y 得x2x，由 x01 知1， b a b2 a2 b2 a2 即1，故 e22，又 e1，所以 1e，故选 C. c2a2 a22 答案 C 12(2017河南省八市质检)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为 2，它的 x2 a2 y2 b2 两条渐近线与抛物线 y22px(p0)的准线分别交于 A，B 两点，O 为坐标原 点若AOB 的面积为，则抛物线的准线方程为 3 ( ) Ax2 Bx2 Cx1 Dx1 解析 因为 e 2，所以 c2a
12、，ba，双曲线的渐近线方程为 yx， c a33 又抛物线的准线方程为 x ，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程 p 2 得 A，B，在AOB 中，|AB|p，点 O 到 AB 的距离为 ， ( p 2， 3p 2 )( p 2， 3p 2 ) 3 p 2 所以 p ，所以 p2，所以抛物线的准线方程为 x1，故选 D. 1 23 p 23 答案 D 13(2017合肥诊断)若点 O 和点 F 分别为椭圆1 的中点和左焦点，点 P 为 x2 9 y2 8 椭圆上的任一点，则的最小值为_ OP FP 解析 点 P 为椭圆1 上的任意一点，设 P(x，y) x2 9 y2 8 (3x3，2y
13、2)，依题意得左焦点 F(1,0)，(x，y)， 22 OP (x1，y)，x(x1)y2x2x 2 . FP OP FP 728x2 9 1 9(x 9 2) 23 4 3x3， x ， 2 ， 3 2 9 2 15 2 9 4 (x 9 2) 225 4 2 ，6 2 12，即 612，故最小值为 6. 1 4 1 9(x 9 2) 225 36 1 9(x 9 2) 23 4 OP FP 答案 6 14(2017衡水中学高三联考)已知椭圆 C：1(ab0)短轴的两个顶点与右 x2 a2 y2 b2 焦点的连线构成等边三角形，直线 3x4y60 与圆 x2(yb)2a2相切 (1)求椭圆
14、C 的方程； (2)已知过椭圆 C 的左顶点 A 的两条直线 l1，l2分别交椭圆 C 于 M，N 两点，且 l1l2，求证：直线 MN 过定点，并求出定点坐标； (3)在(2)的条件下求AMN 面积的最大值 解 (1)由题意，得Error!Error!Error!Error! 即 C：y21. x2 4 (2)由题意得直线 l1，l2的斜率存在且不为 0. A(2,0)，设 l1：xmy2，l2：x y2， 1 m 由Error!Error!得(m24)y24my0， M. ( 2m28 m24 ， 4m m24) 同理，N. ( 28m2 4m21， 4m 4m21) m1 时，kMN， 5m 4m21 lMN：y.此时过定点. 5m 4m21(x 6 5) ( 6 5，0) m1 时，lMN：x ，过点. 6 5
