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1、第四章 不定积分,第1节 不定积分的概念和性质,例,定义:,一、原函数与不定积分的概念,原函数存在定理:,简言之:连续函数一定有原函数.,问题:,(1) 原函数是否唯一?,例,( 为任意常数),(2) 若不唯一它们之间有什么联系?,关于原函数的说明:,(1)若 ,则对于任意常数 ,,(2)若 和 都是 的原函数,,则,( 为任意常数),证,( 为任意常数),不定积分的定义:,例1 求,解,解,例2 求,例3 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点(1,2),所求曲线方程为,显然,求不定积分得到一积分曲线族
2、.,由不定积分的定义,可知,结论:,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式?,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的,因此可以根据求导公式得出积分公式.,二、 基本积分表,基本积分表 ,是常数);,说明:,简写为,例4 求积分,解,根据积分公式(2),证,等式成立.,(此性质可推广到有限多个函数之和的情况),三、 不定积分的性质,例5 求积分,解,例6 求积分,解,例7 求积分,解,例8 求积分,解,说明:,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形,才能使用基本积分表.,解,所求曲线方程为,基本积分表(1),不定积分的性质,原函数的概念:,不定积分的概念:,求微分与求积分的互逆关系,四、 小结,思考题,符号函数,在 内是否存在原函数?为什么?,思考题解答,不存在.,假设有原函数,故假设错误,所以 在 内不存在原函数.,结论,每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.,练习题,练习题答案,返回,