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1、第十章 无穷级数,第一节 数项级数的概念与性质,第二节 数项级数的审敛法,第三节 幂级数,第四节 幂级数展开,第五节 傅里叶级数,2,第三节 幂级数,本节主要内容:,三.幂级数的性质,一、函数项级数,函数项级数,定义10.3.1 是定义在区间I上的函数列，称和式 为定义在区间I上的（函数项）级数，记为 .,例如：,收敛点与收敛域:,和函数,函数项级数的部分和,余项,(x在收敛域上),注意,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,(定义域是?),例如, 等比级数,它的收敛域是,它的发散域是,或写作,有和函数,二、幂级数及其收敛性,幂级数,定义10.3.2 形如 的函数项级数称
2、为(x-x0)的幂级数，记为 特例：当x0=0，即在零点处的幂级数为 称为x的幂级数，记为 .,幂级数的收敛性,引理（阿贝尔定理若幂级数 在x=x00 收敛，则对满足不等式|x|x0|的任何x，幂级数 发散.,几何说明,定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.,(-R，R)称为幂级数的收敛区间.,规定,问题,如何求幂级数的收敛半径?,(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.,定理10.3.1 如果 满足 则收敛半径,证:,1) 若 0,则根据比值审敛法可知:,当,原级数收敛;,当,原级数发散.,即,时,即,时,2) 若,则根据比值审敛法可知,绝对收敛 ,对任意 x 原级数,因此,因此级数的收敛
3、半径,3) 若,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级数发散 ,因此,收敛区间为 (-1,1),例1：求下列级数的收敛域.,因此所给幂级数的收敛域为(-1,1 ,解：,级数仅在x=0处收敛.,故收敛域是,例1：求下列级数的收敛域.,解：,令t=x-1 ,原级数化为,当t=-2 时,x=-1,级数 收敛,当t=2 时,x=3,级数 发散,原级数的收敛域为,的收敛域为,例2：求级数 的收敛域.,解：,级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理,故直接由,比值审敛法求收敛半径.,故收敛半径为,时级数收敛,当,即,时级数发散,当,即,例3：求级数 的收敛半径.,解：,练一练,级数只在 处收敛.,级数的收敛域
4、为,三、幂级数的性质,(2)幂级数 的和函数 在收敛区间 内可积,且对 可逐项积分.,幂级数 的和函数在收敛区间 （-R,R） 内连续.,收敛半径不变.,即,收敛半径不变.,即,(3)幂级数 的和函数 在收敛区间 内可导,且对 可逐项求导.,(4)设 和 的收敛半径分别为,易求得 与 的收敛域分别为,收敛域为,例4：求级数 的收敛域.,解：,两边积分得,易求得 的收敛域为,例5：求下列幂级数的和函数,解：,又 时, 收敛.,即,易求得 的收敛域为,两边从0到x积分,得,设,两边求导得,内容小结,1. 求幂级数收敛域的方法,1) 对标准型幂级数,先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .,2) 对
5、非标准型幂级数(缺项或通项为复合式),求收敛半径时直接用比值法,2. 幂级数的性质,两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减,也可通过换元化为标准型再求 .,运算.,2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续;,3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.,阿贝尔(1802 1829),挪威数学家, 近代数学发展的先驱者.,他在22岁时就解决了用根式解5 次方程,的不可能性问题 ,他还研究了更广的一,并称之为阿贝尔群.,在级数研究中, 他得,到了一些判敛准则及幂级数求和定理.,论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开,拓了道路.,数学家们工作150年.,类代数方程,他是椭圆函数,C. 埃尔米特曾说: 阿贝尔留下的思想可供,后人发现这是一类交换群,
