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1、概率与统计 第十七讲 极限定理,开课系：理学院 统计与金融数学系 e-mail: 主页 http:/,3.6 大数定律及中心极限定理 3.6.1 大数定律 一.依概率收敛,设Xn为随机变量序列，X为随机变量，若任给0, 使得,则称Xn依概率收敛于X. 可记为,例如:,意思是:当,a,而,意思是:,时,Xn落在,内的概率越来越大.,当,二.几个常用的大数定律,1.切比雪夫大数定律 设Xk,k=1,2,.为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望，及方差20，则,即若任给0, 使得,证明:由切比雪夫不等式,这里,故,切比雪夫不等式,2.伯努里大数定律 设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概
2、率为p，记fn为n次试验中事件A发生的频率，则,证明:设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,由切比雪夫大数定理,3. 辛钦大数定律 若Xk,k=1.2,.为独立同分布随机变量序列, EXk= , k=1, 2, 则,推论:若Xi,i=1.2,.为独立同分布随机变量序列, E(X1k)= , 则,定积分的 近似计算,5.2. 中心极限定理 一.依分布收敛,设Xn为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x)的连续点，有,则称Xn依分布收敛于X. 可记为,二.几个常用的中心极限定理,1.独立同分布中心极限定理 (Levy-Lindeber
3、g) 设Xn为独立同分布随机变量序列，若EXk=，DXk= 2 ，k=1, 2, , 则Xn满足中心极限定理。 根据上述定理，当n充分大时,例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于300的概率是多少？,解:设 Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,100,则 X1,X100独立同分布.,由中心极限定理,设随机变量n(n=1, 2, .)服从参数为n, p(0p1)的二项分布，则,2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 (De Moivre-Laplace),证明:设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,由中心极限定理,结论得证,例2 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，
4、每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问： (1)保险公司亏本的概率有多大？ (2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元的概率不低于90%，赔偿金至多可设为多少？,解 设X表示一年内死亡的人数，则XB(n, p), 其中 n= 10000，p=0.6%， 设Y表示保险公司一年的利润， Y=1000012-1000X 于是由中心极限定理 (1)PY0=P1000012-1000X0 =1PX120 1 (7.75)=0;,PY60000=P1000012-aX60000 =PX60000/a0.9;,（2）设赔偿金为
5、a元，则令,由中心极限定理,上式等价于,依概率收敛,切比雪夫 大数定律,伯努里大数定律,依分布收敛,Levy-Lindeberg 中心极限定理,德莫佛-拉普拉斯 中心极限定理,辛钦大数定律,EX1,某螺丝钉厂废品率为0.01，问一盒中应装多少个螺丝钉才能使得盒中合格品数目不少于100个的概率不少于0.95？,EX2,解法一: 设Xi 为检查第i件产品所花时间,则,于是,检查1900件所花时间为 ,则在8小时内检验员能够至少检查1900件的概率为,检验员逐个检查某种产品，每查一件花10秒时间，有的产品可能要复查一次而再花10秒时间.假定每一件产品需复查的概率为1/2，求在8小时内检验员能够至少检查1900件的概率.,解法二: 设X为1900件产品中需复查的件数,Y为检查1900件产品所花时间,则 .,在8小时内检验员能够至少检查1900件的概率为,
