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1、山西省,数学,第25讲 几何作图,第六章 图形的性质(二),3利用基本作图作三角形 (1)已知三边作三角形； (2)已知两边及其夹角作三角形； (3)已知两角及其夹边作三角形； (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形； (5)已知一直角边和斜边作直角三角形 4与圆有关的尺规作图 (1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)； 步骤： 分别作AB，AC的垂直平分线，作法与基本尺规作图中的类型五相同，交于点O； 以O为圆心，OA长为半径作图； 则O即为ABC的外接圆,两种画图方法 对于一个既不属于尺规基本作图，又不属于已知条件为边角边、角边角、角角边、边边边、斜边直角边的三角形的作图题，可
2、以分析图形中是否有属于上述情况的三角形，先把它作出来，再发展成整个图形，这种思考方法，称为三角形奠基法；也可以按求作图形的要求，一步一步地直接画出图形，这时，关键的点常常由两条直线(或圆弧)相交来确定，称为交会法事实上，往往把三角形奠基法和交会法结合使用 三点注意 (1)一般的几何作图，初中阶段只要求写出已知、求作、作法三个步骤，完成作图时，需要注意作图痕迹的保留，作法中要注意作图语句的规范和最后的作图结论 (2)根据已知条件作几何图形时，可采用逆向思维，假设已作出图形，再寻找图形的性质，然后作图或设计方案 (3)实际问题要理解题意，将实际问题转化为数学问题,六个步骤 尺规作图的基本步骤： (
3、1)已知：写出已知的线段和角，画出图形； (2)求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化； (3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹； (4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件； (5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有解； (6)结论：对所作图形下结论,解：(1)作图如图所示,相切,画三角形,【例1】 (2015杭州)“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c
4、，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度 (1)用记号(a，b，c)(abc)表示一个满足条件的三角形，如(2，3，3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形请列举出所有满足条件的三角形 (2)用直尺和圆规作出三边满足abc的三角形(用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹),解：(1)共9种：(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，3)，(2，3，4)，(2，4，4)，(3，3，3)，(3，3，4)，(3，4，4)，(4，4，4) (2)由(1)可知，只有(2，3，4)，即a2，b3，c4时满足abc.如图的ABC即为满足条件的三角形,【点评】 (1)作三角形包括
5、：已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；已知三角形的三边，求作三角形； (2)求作三角形的关键是确定三角形的顶点；而求作直角三角形时，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的图形,对应训练 1(2015南京)如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3),解：满足条件的所有图形如图所示：,应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图,解：(1)如图,【点评】 本题考查了尺规作图及解直角三角形的应用，正确的作出图形是
6、解答本题的关键,对应训练 2(2015济宁)如图，在ABC中，ABAC，DAC是ABC的一个外角 实验与操作： 根据要求进行尺规作图，并在图中标明 相应字母(保留作图痕迹，不写作法) (1)作DAC的平分线AM； (2)作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE，CF. 猜想并证明： 判断四边形AECF的形状并加以证明,通过画图确定圆心,解：(1)如图，点O为所求,【点评】 根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”，在AB上另找一点C，分别画弦AC，BC的垂直平分线，交点即为圆心O.,对应训练 3(2014兰州)如图，在ABC中，先作BAC的角平分线AD交BC于点D，再以
7、AC边上的一点O为圆心，过A，D两点作O(用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑) 解：作出角平分线AD，作AD的中垂线交AC于点O，作出O，O为所求作的圆,试题 尺规作图，已知顶角和底边上的高，求作等腰三角形 已知：，线段a. 求作：ABC，使ABAC，BAC，ADBC于D，且ADa.,错解 如图，(1)作EAF； (2)作AG平分EAF，并在AG上截取ADa； (3)过D画直线MN交AE，AF分别于C，B，ABC为所求作的等腰三角形 剖析 上述画法考虑AD平分BAC，等腰三角形顶角的平分线与底边上的高重合，但是画法(3)没有注意到要使ADBC，也难以使ABAC.,正解 如图，(1)作EAF (2)作AG平分EAF，并在AG上截取ADa (3)过D作MNAG，MN与AE，AF分别交于B，C.则ABC即为所求作的等腰三角形,D,
