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1、第八章 相关与回归分析,开篇案例：道琼斯下摆理论,分析人员发现股票价格和裙子长度相一致 纽约时装的秋季集中展示会暗示股票的秋季回落吗？据六大股市指示器“下摆指示器”所示，当裙子的下摆变短，则股票会涨起来，当裙长接近地面时，股票就会下跌。 从路上那些及踝长裙来判断，在10月的某个时候股票会有所下跌，而此时正是这种端庄的时装充斥大街的时候。,开篇案例：道琼斯下摆理论,“我不会把我所有的股市判断都立足于这种理论，但这是一种有趣的相关关系。”审慎安全公司技术分析主任拉尔夫阿坎泊拉说道。 在喧啸的二十世纪20年代，短的宽平下垂的裙装风行一时。30年代的长式时装宣告了熊市的到来。与此相似，在60年代，股票
2、的上涨与超短迷你裙的流行相吻合。只是在70年代才让位于石油危机、通货膨胀和更加保守的裙长。甚至“查理的天使”也穿着长裙。,开篇案例：道琼斯下摆理论,那么在飞速发展的80年代怎么样的呢？妇女职业装是宽肩配以短小的裙子。在1987年股票狂跌，裙摆也在不断变长。到了今天，极端疯狂的牛市也使裙子越变越短还要开衩。 阿坎泊拉先生摒除了女式的时装是一种领导或是一个指示器，说时装的下摆是随股票变化的“因为当人们赚钱的时候就会有一些放荡，这是心理方面的因素。”,开篇案例：道琼斯下摆理论,当最近在美国和欧洲举行的秋季时装展示会上众多品牌如乔治奥阿马尼、拉尔夫劳伦和奥斯卡德拉兰塔以长裙、长裙装为特色时，对股票来讲
3、情况又变糟了。 新的下摆外观与华尔街上发生的某些事相似已经被预言了。从1995年至1997年，股票有3年涨幅大于20个百分点。但是类似的走势却没有延至第四年。,开篇案例：道琼斯下摆理论,理查德麦克凯博，墨里尔&林奇公司的市场分析负责人甚至预言今年的某些时候，股票价格会下降25个百分点。 但是理查德麦克凯博不承认这与裙摆有任何相互关系，“我从没有把它当作股市指示器”他说道，并强调他决不是个专看女人裙子的人。,第十章 相关与回归分析,第一节 相关分析 第二节 一元线性回归分析 第三节 多元线性回归分析 第四节 可线性化的非线性回归分析,学习目标,1. 掌握相关系数的含义、计算方法和应用 2. 掌握
4、一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘估计方法 掌握回归方程与回归系数的显著性检验 了解多元线性回归分析和可线性化的非线性回归分析 用 Excel 进行回归分析,第一节 相关分析,一. 变量相关的概念 二. 相关系数及其计算,变量相关的概念,小调查,我的工作量，我的月收入 你的月收入，你的月支出,变量间的关系 （函数关系）,是一一对应的确定关系 设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量 各观测点落在一条线上,变量
5、间的关系 （函数关系）, 函数关系的例子 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y = p x (p 为单价) 圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = R2 企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产量消耗(x2) 、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y = x1 x2 x3,变量间的关系 （相关关系）,变量间关系不能用函数关系精确表达 一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定 当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个 各观测点分布在一条线周围,变量间的关系 （相关关系）, 相关关系的例子 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 商品销售额(y)与
6、广告费支出(x)之间的关系 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系,相关关系的例子 中国移动通信市场的竞争,今年以来，有两个迹象表明中国移动通信行业竞争加剧。一是市场竞争从对增量用户的竞争转向对存量用户的争夺。2001年，移动和联通每月净增用户的走势表现出相当强的趋同性，基本上是随着季节因素同上同下。但从今年前九个月的数据来看，两家运营商每月净增用户的升降表现出很强的负相关性，这表明总增量用户的增长放缓，移动和联通对存量用户的竞争加剧。据不完全统计，CDMA新增用户中，有50%-60%是中国移动的“全球通”用户。二是手机补贴方式大规模推出。,相关关
7、系的类型,相关关系的图示 （相关分析的图示法）,相关系数及其计算,相关关系的测度 （相关系数）,对变量之间关系密切程度的度量 对两个变量之间线性相关程度的度量称为简单相关系数 若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为 若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为 r,相关关系的测度 （相关系数）, 样本相关系数的计算公式,或表示为：,相关关系的测度 （相关系数取值及其意义）,r 的取值范围是 -1,1 |r|=1，为完全相关 r =1，为完全正相关 r =-1，为完全负正相关 r = 0，不存在线性相关关系相关 -1r0，为负相关 0r1，为正相关 |r|越趋于1表示关系
8、越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切,相关关系的测度 （相关系数取值及其意义）,r,相关关系的测度 （相关系数计算例）,【例】在研究我国邮政业务收入水平与经济发展环境的关系中，我们收集到1999年我国31个省邮政业务收入和社会消费品零售总额数据，计算相关系数。,相关关系的测度 （计算结果）,解：根据样本相关系数的计算公式有 邮政业务收入和社会消费品零售总额之间的线性相关系数为0.9027，因而，两者之间存在高度的正线性相关关系,相关系数的显著性检验 （概念要点）,1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系（r只是样本相关系数，而样本则具有随机性，其大小不能代表总体的相关程度，需要进行检验）
9、等价于对回归系数 b1的检验 采用 t 检验 检验的步骤为 提出假设：H0： ；H1： 0,计算检验的统计量：,确定显著性水平，并作出决策 若tt，拒绝H0 若tt，接受H0,相关系数的显著性检验 （实例）, 对前例计算的相关系数进行显著性检(0.05) 提出假设：H0： ；H1： 0 计算检验的统计量,3. 根据显著性水平0.05，查t分布表得t(n-2)=2.045 由于t=11.3t(31-2)=2.045，拒绝H0，邮政业务收入和社会消费品零售总额之间的相关关系显著,第二节 一元线性回归,一. 一元线性回归模型 参数的最小二乘估计 回归方程的显著性检验,什么是回归分析? （内容）,从一
10、组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度,趋向中间高度的回归,回归这个术语是由英国著名统计学家Francis Galton在19世纪末期研究孩子及他们的父母的身高时提出来的。Galton发现身材高的父母，他们的孩子也高。但这些孩子平均起来并不像他们的父母那样高。对于比较矮的父母情形也类似：他们的孩子比较矮，但这些孩子的平均身高要比他们的父母的平均身高高。 Galton把这种孩子的身
11、高向中间值靠近的趋势称之为一种回归效应，而他发展的研究两个数值变量的方法称为回归分析。,回归分析(Regression Analysis)与 相关分析(Correlation Analysis)的区别,相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以揭示变量之
12、间确切的关系,回归模型的类型,一个自变量,两个及两个以上自变量,回归模型,多元回归,一元回归,线性回归,非线性回归,线性回归,非线性回归,回归模型与回归方程,回归模型,回答“变量之间是什么样的关系？” 方程中运用 1 个数量的因变量(被解释变量、非独立变量) 被预测的变量 1 个或多个数量的或分类的自变量 (解释变量、独立变量) 用于预测的变量 3. 主要用于预测和估计,一元线性回归模型 (Simple Linear Regression Model) （概念要点）,当只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变量 y 与自变量 x 之间为线性关系时称为一元线性回归 对于具有线性关系的两个变量，可以
13、用一条线性方程来表示它们之间的关系 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型,一元线性回归模型 （概念要点）, 对于只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表示为 y = b0 + b1 x + e 模型中，y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 是随机变量 反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性 0 和 1 称为模型的参数,一元线性回归模型 （基本假定）,误差项是一个期望值为0的随机变量，即E()=0。对于一个给定的 x 值，y 的
14、期望值为E ( y ) = 0+ 1 x 对于所有的 x 值，的方差2 都相同 误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即N( 0 ,2 ) 独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的与其他 x 值所对应的不相关 对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关,回归方程 （概念要点）,描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回归方程 简单线性回归方程的形式如下 E( y ) = 0+ 1 x,方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程 0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值 1是直线的斜率，称为回归系数，表示当
15、x 每变动一个单位时，y 的平均变动值,估计的(样本)回归方程,简单线性回归中估计的回归方程为,其中： 是估计的回归直线在 y 轴上的截距， 是直线的斜率，表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值,用样本统计量 和 代替回归方程中的未知参数 和 ，就得到了估计的回归方程（样本回归方程）,总体回归参数 和 是未知的，必需利用样本数据去估计,回归模型与回归方程,估计的（样本）回归方程为 估计的（样本）回归模型,一元线性回归方程,一元线性回归模型 y = b0 + b1 x + e E(y) = b0 + b1 x,y,参数 0 和 1 的最小二乘估计,最小二乘法 （概念要点）,使因变量的观察
16、值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 和 的方法。即,用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小,最小二乘法 （图示）,x,y,(xn , yn),(x1 , y1),(x2 , y2),(xi , yi),最小二乘法 （图示）,最小二乘法 （ 和 的计算公式）, 根据最小二乘法的要求，可得求解 和 的标准方程如下,估计方程的求法 （实例）,【例】根据数据，利用最小二乘法建立邮政业务收入对社会消费品零售总额的回归方程,估计方程的求法 （实例）,邮政业务收入对社会消费品零售总额的回归方程为：,结论： 随着社会消费品零售总额的增加,邮政业务收入也增加,在不考虑其他因素情况下,社会消费品零售总额每增加1亿元
