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1、1 向量内积,得,所以,得,得,所以,（2）单位化，取,解 先正交化，,取,再单位化，,得规范正交向量组如下,例,解,再把它们单位化，取,例,解,把基础解系正交化，即合所求亦即取,证明,定义1,定理,四、正交矩阵与正交变换,为正交矩阵的充要条件是 的行向量都 是单位向量且两两正交,正交变换的性质,证明,定义5 若 为正交阵，则线性变换 称为正 交变换,(1) 正交变换保持向量的长度不变,(2) 正交变换保持向量的内积不变,证明,解,所以它不是正交矩阵,考察矩阵的第一列和第二列，,由于,例 判别下列矩阵是否为正交阵,所以它是正交矩阵,由于,说明,一、特征值与特征向量的概念,2 方阵的特征值和特征
2、向量,求矩阵特征值与特征向量的步骤：,解,例1,例,解,解,得基础解系为：,例 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于 的特征向量，则,证明,证明,则,即,类推之，有,二、特征值和特征向量的性质,把上列各式合写成矩阵形式，得,注意,. 属于不同特征值的特征向量是线性无关 的,. 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量,. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值,例5 设A是 阶方阵，其特征多项式为,解,三、特征值与特征向量的求法,求矩阵特征值与特征向量的步骤：,四、小结,思考题,思考题解答
3、,一、相似矩阵与相似变换的概念,3 相似矩阵,1. 等价关系,二、相似矩阵与相似变换的性质,证明,推论 若 阶方阵A与对角阵,利用对角矩阵计算矩阵多项式,利用上 述结论可以 很方便地计 算矩阵A 的 多项式 .,定理,证明,证明,三、利用相似变换将方阵对角化,命题得证.,说明,如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化,例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解,解之得基础解系,求得基础解系,解之得基础解系,故 不能化为对角矩阵.,解,解之得基础解系,所以 可对角化.,注意,即矩阵 的列向量和对角矩阵
4、中特征值的位置 要相互对应,四、小结,相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：,相似变换与相似变换矩阵,这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算,相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 ，而可逆矩阵 称为进行这一变换的 相似变换矩阵,思考题,思考题解答,是,5.4 实对称矩阵的相似矩阵,5.4.1实对称矩阵的性质,性质1 实对称矩阵的特征值都是实数，特征向量为 实向量；,性质2 实对称矩阵的属于不同
5、特征值的特征向量 相互正交；,性质3 设,阶实对称矩阵,是,的,则齐次线性方程组,重特征根,的系数矩阵的秩,从而,的对应于特征值,性无关的特征向量恰有,的线,个.,个特征值.,是,定理2 设,阶实对称矩阵,则存在正交矩阵,使,其中,为对角矩阵,且,元素是矩阵,对角线上的,的,5.4.2实对称矩阵的相似对角形,根据上述定理，任何一个实对称矩阵都与对角阵正交相似,寻找正交矩阵,使,成为对角阵的步骤如下：,1根据特征方程,求出矩阵,的特征值,的所有不同,及它们的重数,2对每一个特征值,解齐次线性方程组,求得它的一个基础解系,3利用施密特正交化方法，把向量组,正交单位化得单位正交向量组,从而得到,个两
6、两正交的单位特征向量组:,的,个,4令,则,为正交矩阵,且,为对角矩阵，且,对角线上的元素含,恰好是矩阵,个特征值.其中,的主对角元素,的重数为,顺序与,并且排列,排列顺序相对应,中正交向量组的,例设,求一个正交矩阵,使,为对角矩阵,解 由,得,的特征值为,对应于,解方程,由,得同解方程组,通解为,一基础解系为,单位化得,对应于,解方程,由,得同解方程组,通解为,一基础解系为,取,单位化,得,令,则有,注意 上例中若令,可逆,则,例 设,求,解,为实对称矩阵所以,可以对角化,即存在可逆矩阵,使,为对角矩阵.于是,从而,由,得,的特征值为,于是,对于,由,得,对于,由,得,令,再求出,于是,一般
7、地，,为正整数).,合同,5.5 二次型及其矩阵表示,5.5.1合同矩阵,定义7 设有两个,阶矩阵,如果存在一个可逆矩阵,使得,则称矩阵,与,合同关系是矩阵之间的又一重要关系，它是研究二次型 的主要工具合同关系具有以下性质：,性质1,与,自身合同,性质2 若,合同,则,与,合同.,与,性质3若,合同,与,合同,则,与,合同.,与,个变量的二次齐次函数,5.5.2 二次型及其矩阵表示,定义8 含有,称为二次型,取,则,实二次型可以写成：,则二次型可记作,记,任给一个二次型，就惟一确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可惟一确定一个二次型这样，实二次型与实对称矩阵之间存在一一对应关系因此，我
8、们把对称矩阵 叫做二次型 的矩阵，也把 叫做对称矩阵 的二次型对称矩阵 的秩就叫做二次型 的秩,例如,可表示为,可逆变换,正交变换.经可逆变换 二次型的矩阵 变为与 合同的矩阵 且二次型的秩不变,研究矩阵的合同与实二次型理论的关系在将实二次型变化的过程中，我们常常需要作变换，这种变换可以用如下关系描述：,称为由变量 到变量 线性变换,矩阵形式为,5.6 二次型的标准形,定义9 如果二次型 通过可逆 线性变换化成二次型 且仅含平方项即 则称上式为二次型的标准形一般的，二次型的标准形不惟一,标准形所对应的矩阵为对角矩阵，即,5.6.1二次型的标准形的定义,其中 是矩阵的特征值，正交矩阵 的 个列向
9、量 是对应于 的特征向量,定理3 任给一个二次型 总存在正交变换 使 化为标准形,5.6.2用正交变换法化二次型为标准形,用正交变换化二次型为标准形的关键是找到一个正交矩阵,使二次型的矩阵,化成对角矩阵,具体步骤如下,1.写出二次型的矩阵 2.求出矩阵,3.对重特征值(如果有的话)对应的线性无关特征向量正交化, 再将所有的线性无关的特征向量单位化,设为,的特征值与线性无关的特征向量,4.构造正交矩阵,令,则,例 求一个正交变换 化二次型 为标准形,解 二次型的矩阵,所以， 的特征值为,对于 解方程 由于 同解方程组 一基础解系为,单位化得,对于 解方程 由于 同解方程组 一基础解系为,单位化得
10、,将 正交化，得,令,则作正交变换 二次型可化为标准形,5.6.3用配方法化二次型为标准形,用正交变换化二次型成标准形，具有保持几何形状不变的优点如果不限于正交变换，那么还可以有多个可逆的线性变换把二次型化成标准形其中最常 用的方法是拉格朗日配方法,例 用配方法化二次型 化为标准形，并求所用的变换矩阵,解先将含有 的项配方,再将后三项中含有,的项配方，,令,则,经过可逆变换,可将二次型化为标准形,定理4 任何一个二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形（证明略）,定理5 (惯性定理)设二次型 它的秩为 ,有两个可逆线性变换,使,则 中正数的个数与 中正数个数相等.,5.6.4惯性定理与二次型的规
11、范形,另外，我们还有如下结论： （1）标准形所含项数 等于二次型对应的矩阵,的非零特征值的个数（重特征值按重数计算）； （2）标准形中正系数个数等于正特征值的个数（重特征值按重数计算）； （3）标准形中负系数个数等于负特征值的个数（重特征值按重数计算），也等于项数 减去正,特征值的个数 二次型的标准形中正系数的个数称为二次型 的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数,定义10 如果二次型 通过可逆线性变换可以化为 则称之为该二次型的规范形,定理6 任给一个二次型 总存在可逆变换 ,使 化为规范形,可以证明，规范形是惟一的规范形中取+1的个数等于正特征值的个数，也等于正惯性指数 ；取1的个数等于
12、负特征值的个数，也等于负惯性指数 ；其中 为非零特征值的个数，等于二次型的秩,例如，若二次型 的矩阵 的特征值为 ,则,的规范型为,推论 两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们所对应的实二次型具有相同的正惯性指数和秩,5.7 正定二次型,定义11 设实二次型 如果对任意 都有 （显然 ）， 则称 为正定二次型，并称对称矩阵 是正定的。,定理7 可逆变换不改变二次型的正定性,定理8 二次型 正定的充分必要 条件是它的正惯性指数等于,推论1 二次型 正定的充分必要 条件是它的规范型为,推论2 实对称矩阵 正定的充分必要条件是与单位矩阵合同，即存在可逆矩阵 使,推论3 实对称矩阵 正定的充分必要条件是 的所有特征值都大于零,推论4 如果实对称矩阵 正定，则 的行列式大于零；反之未必,定义12 设 阶矩阵 的子式 称为矩阵 的 阶顺序主子式,定理9 实对称矩阵 正定的充分必要条件是 的所有顺序主子式都大于零，即,例 求证给定的二次型是正定的,证明 这个二次型对应的实对称矩阵,它的顺序主子式,所以 是正定矩阵，即 为正定型,的顺序主子式,例 判断对称矩阵,的正定性.,解,所以 既不是正定矩阵也不是负定矩阵,
