《第6章常微分方程与差分方程6.5线性微分方程解的结构》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第6章常微分方程与差分方程6.5线性微分方程解的结构（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.5 线性微分方程解的结构,一、高阶线性微分方程的一般理论,二、二阶常系数齐线性微分方程的解,三、二阶常系数非齐线性微分方程的解,一、高阶线性微分方程的一般理论,n 阶线性方程的一般形式为,二阶线性微分方程的一般形式为,通常称 ( 2 ) 为 ( 1 ) 的相对应的齐方程。,6.5.1 函数组的线性无关和线性相关,证,由三角函数知识可知，这是不可能的，故,证,定理：,1. 二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构,定理6.1 叠加原理,的解，则它们的线性组合,也是方程 (2) 的解，,6.5.2 线性微分方程的性质和解的结构,证,的解，则它们的线性组合,也是方程 (2) 的解。,在什么情况下，叠
2、加所得可以成为方程 (2) 的通解？,(2) 二阶齐线性微分方程解的结构,的两个线性无关的解，则,是方程 (2) 的通解。,解,又容易看出：,而,由叠加原理，原方程的通解为,代入方程中，得,即,故有,两边积分，得,为原方程的通解。,则,（刘维尔公式）,解,由刘维尔公式,故原方程的通解为,2. 二阶非齐线性微分方程解的结构,(1) 解的性质,的一个特解，则,是原方程的一个特解。,的一个特解，则,是方程,的一个特解。,（定理6.7）,是其对应的齐方程,的一个特解。,的一个特解。,（P.328定理6.8）,如何求特解？,的通解，则,是方程 (1) 的通解。,6.4.3 二阶线性微分方程的常数变易法,(例6.45略),则有,令,以下推导的前提,于是,对上式两边关于 x 求导，得,即,联立 (3)、(4) 构成方程组,解此方程组，再积分，并取积分常数为零，即可得到,解,该方程所对应的齐方程为,它就是我们刚刚讲过的例题，由刘维尔公式得其通解为,由常数变易法，解方程组,两边积分，取积分常数为零，得,两边积分，取积分常数为零，得,故原方程有一特解,从而，原方程的通解为,例6.46略,例6.47,解,先将方程变形为,所以，对应的齐次的通解为,所以，对应的齐次的通解为,设原方程的解为,由常数变易法知，应有,解之得,所以,原方程的通解为,
