《2018版数学《学案导学与随堂笔记》人教B版选修4-4讲义：第二讲 参数方程四 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版数学《学案导学与随堂笔记》人教B版选修4-4讲义：第二讲 参数方程四 （12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.4 一些常见曲线的参数方程 1.一圆周沿一直线作无滑动滚动时，圆周上的一定点 M 的轨迹称为摆线. 2.半径为 a 的圆在 x 轴上滚动，开始时定点 M 在原点 O 处，取圆滚动时转过的 角度 t(以弧度为单位)为参数，摆线的参数方程为. xa（tsin t）， ya（1cos t）) 3.把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开， 绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切，绳的端点移动的轨迹就是 一条圆的渐开线.固定的圆称为渐开线的基圆. 4.基圆的半径为 a，以圆心为原点 O，绳拉直时和圆的切点为 A，记和 x 轴正 OA 向所成的角为 t(以弧度为单
2、位)，则圆的渐开线的参数方程为 . xa（cos ttsin t）， ya（sinttcost） ) 【思维导图】 【知能要点】 1.摆线，摆线的参数方程. 2.圆的渐开线，渐开线的参数方程. 知识点 1 摆线 在分析摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解“一个圆沿一条定直线无 滑动地滚动”的意思.如图所示，假设半径为 r 的圆周上定点 M 的起始位置是圆 与定直线的切点 O，圆保持与定直线相切向右滚动，点 M 就绕圆心 B 作圆周运 动.如果点 M 绕圆心 B 转过 t 弧度后，圆与直线相切于 A，那么线段 OA 的长等 于的弧长，即 OArt；点 M 绕圆心 B 运动一周回到切点的位置
3、 E，那么 OE AM 的长恰等于圆周长.这就是所谓“无滑动地滚动”的意思. 从上述分析可以看到，在圆周沿定直线无滑动滚动的过程中，圆周上定点 M 的 位置可以有圆心角 t 唯一确定，因此以 t 为参数是非常自然的. 【例 1】 已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的参数方程. 解：根据圆的摆线的参数方程的表达式 (t 为参数)可知，只需 xa（tsin t）， ya（1cos t）) 求出其中的 a，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定，因此只需把 点(1，0)代入参数方程求出 a 值，再代入参数方程的表达式. 令 a(1cos t)0 可得 cos t1， 所以 t2k
4、 (kZ)代入可得 xa(2ksin 2k)1. 所以 a.又根据实际情况可知 a 是圆的半径， 1 2k 故 a0. 所以，应有 k0 且 kZ，即 kN*. 所以，所求摆线的参数方程是 (t 为参数其中 kN*). x 1 2k（tsin t）， y 1 2k（1cos t） ) 【反思感悟】 本题易错点是误把点(1，0)中的 1 或 0 当成 t 的值，代入参数方程 中求出 x 和 y 的值，再计算 a 的值；或者在求出 cos t1 时，直接得出 t0，从 而导致答案不全面. 1.有一个半径为 2 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮子一面上有一点 M 与轮子中 心的距离为 1，求点 M 的轨
5、迹方程. 解：设轮子的圆心为 B，BM 的延长线与直线轨道垂直时的一个垂足 O 为原点， 直线轨道为 x 轴的正方向，建立直角坐标系. 设圆滚动使点 M 绕圆心 B 转过 角后点 M 的坐标为(x，y)， 则 xODOADAOAMC2sin ， yDMACABCB2cos ， 所以，点 M 的轨迹方程为 x2sin ， y2cos . ) 知识点 2 圆的渐开线 渐开线要从其生成过程理解其简单性质，体会渐开线上动点所满足的几何条件， 建立渐开线参数方程的关键是将“切线 BM 的长就是的长”用坐标表示出来. AB 渐开线的参数方程不能化为普通方程. 【例 2】 给出某渐开线的参数方程 (t 为参
6、数)，根据参 x3cos t3tsin t， y3sin t3tcos t ) 数方程可以看出该渐开线的基圆半径是_，且当参数 t 取时对应的曲线上 2 的点的坐标是_. 答案：3 ( 3 2，3) 解析：根据一般情况下基圆半径为 a 的渐开线的参数方程 xa（cos ttsin t）， ya（sin ttcos t）) (t 为参数)进行对照可知，这里的 a3，即基圆半径是 3.然后把 t 分别代入 x 2 和 y，可得即得对应的点的坐标. x3 2 ， y3， ) 【反思感悟】 对渐开线的参数方程要理解其中字母的含义，a 是基圆的半径，t 是参数. 2.写出半径为 2 的基圆的渐开线参数方
7、程. 解：直接利用圆的渐开线的参数方程公式，方程为： x2（cos ttsin t）， y2（sin ttcos t） ) (t 是参数). 【例 3】 已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点 A，B 对应的参数分别是和，求 A，B 两点的距离. 3 2 解：根据条件可知圆的半径是 1，所以对应的渐开线参数方程是 (t 为参数)，分别把 t和 t代入， xcos tt sin t， ysin ttcos t ) 3 2 可得 A，B 两点的坐标分别为 A，B. ( 3 3 6 ，3 3 6 )( 2 ，1) 那么，根据两点之间的距离公式可得 A，B 两点的距离为 |AB|
8、( 3 3 6 2) 2 ( 3 3 6 1)2 . 1 6 （136 3）2636 372 即点 A，B 之间的距离为 . 1 6 （136 3）2636 372 【反思感悟】 对于参数方程给出的曲线上点，可以求出点的坐标，转化为两点 间的距离问题. 3.已知圆的渐开线的参数方程是(t 为参数)，则此渐开线对 xcos ttsin t， ysin ttcos t ) 应的基圆的直径是_，当参数 t时对应的曲线上的点的坐标为 4 _. 答案：2 ( 2 2 2 8 ， 2 2 2 8 ) 解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径 为 1，故直径为 2.求当 t 时
9、对应的坐标只需把 t 代入曲线的参数方程，x 4 4 ，y，由此可得对应的坐标为. 2 2 2 8 2 2 2 8 ( 2 2 2 8 ， 2 2 2 8 ) 课堂小结 1.对圆的渐开线和摆线，要理解它们产生的过程，理解参数方程中的字母的意义. 2.对于渐开线、摆线上点的问题，求出坐标后利用前面解析几何的方法求解即可. 随堂演练 1.若某圆的渐开线方程为 ( 为参数)，则此圆的方程 x2cos 2sin ， y2sin 2cos ) 是_，对应的 0 的点的坐标是_，对应的 的点的坐 2 标是_. 答案：x2y24 (2，0) (，2) 2.曲线(是参数)的形状为( ) xacos asin
10、， yasin acos ) A.第一、三象限的平分线 B.以原点为圆心，|a|为半径的圆 2 C.以(a，a)，(a，a)为端点的线段 D.以(a，a)，(a，a)为端点的线段 2222 答案：D 解析： xacos asin a（cos sin ）， yasin acos a（sin cos ）， ) xy0，yx.但是 xa(cos sin) aasin， 2 ( 2 2 sin 2 2 cos ) 2 ( 4) |a|x|a|， 22 对应的曲线为 yx(|a|x|a|)，亦即是以第一、三象限角平分线上的 22 点(a，a)，(a，a)为端点的一段线段. 2222 3.有一个半径是 2
11、a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点 M，与轮子中心 的距离是 a，求点 M 的轨迹方程. 解：如图：B 点坐标为(2a，2a)，(asin ，acos )， MB 设(x，y)，(2a，2a)(asin ， OM OM OB BM acos )(2aasin ，2aacos )， xa（2sin ）， ya（2cos ）. ) 基础达标 1.关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A.只有圆才有渐开线 B.渐开线和摆线 的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同 的图形 C.正方形也可以有渐开线 D.对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 答案
12、：C 解析：不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的 定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图 形也不相同.对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小 和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同. 2.已知一个圆的参数方程为 (t 为参数)，那么圆的摆线方程中与参 x3cos t， y3sin t ) 数 t对应的点 A 与点 B之间的距离为( ) 2 ( 3 2 ，2) A.1 B. C. D. 2210 3 2 1 答案：C 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为 3，那么它的摆线的参数方程为 (t
13、为参数)，把 t 代入参数方程中可得即 A x3（tsin t）， y3（1cos t）) 2 x3( 21)， y3， ) ，|AB| . (3( 21)，3) 3( 21) 3 2 2 （32）2 10 3.直线(t 为参数)的倾斜角是( ) xtsin 203， ytcos 20 ) A.20 B.70 C.110 D.160 答案：C 解析：由于 kcot 20tan 70tan 110， y x3 tcos 20 tsin 20 直线的倾斜角为 110. 4.曲线(t 为参数)的焦点坐标为_. xt21， y2t1 ) 答案：(0，1) 解析：将参数方程化为普通方程(y1)24(x1
14、)，焦点坐标为(0，1). 5.若 x2y24，则 xy 的最大值是_. 答案：2 2 解析：x2y24 的参数方程为( 为参数)， x2cos ， y2sin ) xy2cos 2sin 2cos， 2 ( 4) 最大值为 2. 2 6.求摆线 (0t2)与直线 y2 交点的直角坐标. x2（tsin t）， y2（1cos t）) 解：当 y2 时，有 2(1cos t)2，cos t0.又 0t2，t或 t. 2 3 2 当 t时，x2，y2；当 t时，x32，y2. 2 3 2 摆线与直线 y2 的交点为(2，2)，(32，2). 综合提高 7.圆的渐开线上与 t对应的点直角坐标为( ) x 2（cos ttsin t）， y 2（sin ttcos t） ) 4 A. B. (1 4 ，1 4) (1 4 ，1 4) C. D. (1 4 ，1 4) (1 4 ，1 4) 答案：A 解析：当 t 时，x1 ， 42(cos 4 4sin 4)2( 2 2 2 2 4) 4 y1 . 2(sin 4 4cos 4)2( 2 2 4 2 2) 4 8.如图所示，
