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1、1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)学习目标1.掌握ysin x，ycos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握ysin x，ycos x的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的单调区间.知识点一正弦、余弦函数的定义域、值域观察下图中的正弦曲线和余弦曲线.正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，值域都是1，1.对于正弦函数ysin x，xR有：当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1；当且仅当x2k，kZ时，取得最小值1.对于余弦函数ycos x，xR有：当且仅当x2k
2、，kZ时，取得最大值1；当且仅当x(2k1)，kZ时，取得最小值1.知识点二正弦、余弦函数的单调性观察正弦函数ysin x，x，的图象.思考1正弦函数在，上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案观察图象可知：当x时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x的值由1增大到1；当x时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x的值由1减小到1.推广到整个定义域可得当x(kZ)时，正弦函数ysin x是增函数，函数值由1增大到1；当x(kZ)时，正弦函数ysin x是减函数，函数值由1减小到1.观察余弦函数ycos x，x，的图象.思考2余弦函数在，上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案观察
3、图象可知：当x，0时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由1增大到1；当x0，时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到1.推广到整个定义域可得当x2k，2k，kZ时，余弦函数ycos x是增函数，函数值由1增大到1；当x2k，(2k1)，kZ时，余弦函数ycos x是减函数，函数值由1减小到1.思考3正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？答案 ysin x的增区间为，kZ，减区间为，kZ.ycos x的增区间为2k，2k，kZ，减区间为2k，2k，kZ.梳理解析式ysin xycos x图象值域1，11，1单调性在，kZ上递增，在，kZ上递减在2k，2k，kZ上递增，在2k，2k
4、，kZ上递减最值当x2k，kZ时，ymax1；当x2k，kZ时，ymin1当x2k，kZ时，ymax1；当x2k，kZ时，ymin1类型一求正弦、余弦函数的单调区间例1求函数y2sin的单调递增区间.解y2sin2sin，令zx，则y2sin z.因为z是x的一次函数，所以要求y2sin z的单调递增区间，即求sin z的单调递减区间，即2kz2k(kZ).2kx2k(kZ)，即2kx2k(kZ)，函数y2sin的单调递增区间为(kZ).反思与感悟用整体替换法求函数yAsin(x)或yAcos(x)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区
5、间时，需将最终结果写成区间形式.跟踪训练1函数ysin，x的单调递减区间为_.答案，解析由2k3x2k(kZ)，得x(kZ).又x，所以函数ysin，x的单调递减区间为，.类型二正、余弦函数单调性的应用命题角度1利用正、余弦函数的单调性比较大小例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.(1)sin 196与cos 156；(2)cos与cos.解(1)sin 196sin(18016)sin 16，cos 156cos(18024)cos 24sin 66.0166690，且ysin x在0，90上是增函数，sin 16sin 66，即sin 196cos 156.(2)coscos c
6、os(4)cos ，coscos coscos .0，且ycos x在0，上是减函数，cos cos ，即coscos.反思与感悟用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.跟踪训练2比较下列各组数的大小.(1)sin与sin；(2)cos 870与sin 980.解(1)sinsinsin，sinsinsin .ysin x在上是增函数，sinsin ，即sinsin .(2)cos 870cos(720150)cos 150，sin 980sin(720260)sin 260sin(90170)co
7、s 170.0150170cos 170，即cos 870sin 980.命题角度2已知三角函数的单调性求参数范围例3已知是正数，函数f(x)2sin x在区间，上是增函数，求的取值范围.解由2kx2k(kZ)，得x，f(x)的单调递增区间是，kZ.根据题意，得，(kZ)，从而有解得00，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A. B.C. D.(0，2答案A解析取，f(x)sin，其减区间为，kZ，显然，kZ，排除B，C.取2，f(x)sin，其减区间为，kZ，显然，kZ，排除D.类型三正、余弦函数的值域或最值例4(1)求函数y2cos(2x)，x(，)的值域；(2)求使函数ys
8、in2xsin x取得最大值和最小值的自变量x的集合，并求出函数的最大值和最小值.解(1)x，02x，cos(2x)sin B.sin 3sin 2C.sin sin D.sin 2cos 1答案D解析sin 2coscos，且021cos 1，即sin 2cos 1.故选D.3.函数ycos，x的值域是()A. B.C. D.答案B解析0x，x，cos coscos ，y.故选B.4.求函数y32sin x的最值及取到最值时的自变量x的集合.解1sin x1，当sin x1，x2k，kZ，即x4k，kZ，ymax5，此时自变量x的集合为x|x4k，kZ；当sin x1，x2k，kZ，即x4k
9、，kZ时，ymin1，此时自变量x的集合为x|x4k，kZ.5.求函数y2sin(2x)，x(0，)的单调递增区间.解函数y2sin2sin，函数y2sin的单调递增区间为y2sin的单调递减区间.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.x(0，)，由k0，得x.函数y2sin，x(0，)的单调递增区间为.1.求函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间的方法把x看成一个整体，由2kx2k (kZ)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kx2k(kZ)解出x的范围，所得区间即为减区间.若0，先利用诱导公式把转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间.2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.3.求三角函数值域或最值的常用方法将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.课时作业一、选择题1.函数y12cos x的最小值，最大值分别是()A.1，3 B.1，1C.0，3 D.0，1答案A解析cos x1，1，2cos x2，2，y12cos x1，3，ymin1，ymax3.2.下列函数中，周期为，且在上为减函数的是()A.ysin B.ycosC.ysin D.ycos答案A3.下列关系式中正确的是()A.sin 11cos
