《2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件（北师大版理科）： 第7章 立体几何 第7节 第1课时 利用空间向量证明平行与垂直学案 理 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件（北师大版理科）： 第7章 立体几何 第7节 第1课时 利用空间向量证明平行与垂直学案 理 北师大版（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七节第七节 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 考纲传真 (教师用书独具)1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述 线线、线面、面面的平行和垂直关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些 简单定理(包括三垂线定理).4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的 夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 (对应学生用书第 122 页) 基础知识填充 1空间位置关系的向量表示 l1l2n n1n n2n n1n n2直线l1，l2的方向向量 分别为n n1，n n2 l1l2n n1n n2n n1n n20 ln nm mn nm
2、m0 直线l的方向向量为 n n，平面的法向量为 m m ln nm mn nm m n nm mn nm m平面，的法向量 分别为n n，m m n nm mn nm m0 2.异面直线的夹角 已知直线l1与l2的方向向量分别为s s1，s s2. 当 0s s1，s s2时，直线l1与l2的夹角等于s s1，s s2 ； 2 当s s1，s s2 时，直线l1与l2的夹角等于 s s1，s s2 2 3直线与平面的夹角 设直线l的方向向量为a a，平面的法向量为n n，直线l与平面的夹角为， 则 sin |cosa a，n n|. |a an n| |a a|n n| 4二面角 (1)如图
3、 771(1)，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二 面角的大小， AB CD 图 771 (2)如图 771(2)(3)，n n1，n n2分别是二面角l的两个半平面，的法向 量，则二面角的大小满足|cos |cosn n1，n n2|，二面角的平面角大小是 向量n n1与n n2的夹角(或其补角) 基本能力自测 1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”) (1)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行( ) (2)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合( ) (3)两直线的方向向量所成的角就是两条直线的夹角( ) (4)直线的方向向量和平面的法向量的
4、夹角就是直线与平面的夹角( ) (5)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角( ) (6)两异面直线夹角的范围是，直线与平面夹角的范围是，二面角的 (0， 2 0， 2 范围是0，( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2(教材改编)设u u(2,2，t)，v v(6，4,4)分别是平面，的法向量若 ，则t( ) A3 B4 C5 D6 C C ，则u uv v262(4)4t0， t5. 3已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( ) A(1,1,1)B(1，1,1) CD ( 3 3 ， 3 3 ， 3 3)
5、( 3 3 ， 3 3 ， 3 3) C C 设n n(x，y，z)为平面ABC的法向量， 则Error!化简得Error! xyz.故选 C 4直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1， 则BM与AN夹角的余弦值为( ) A B C D 1 10 2 5 30 10 2 2 C C 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)， M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以(1，1,2)，(1,0,2)，故BM与AN夹角 BM AN 的余弦值 cos . |BM AN | |BM |AN | 3 6 5
6、 30 10 5过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所 成的二面角为_ 45 如图，建立空间直角坐标系，设ABPA1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)， P(0,0,1)，由题意，AD平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，又 CD平面PAD， CDAE，从而AE平面PCD. (0,1,0)，分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且， AD AE (0， 1 2， 1 2) AD AE 45. 故平面PAB与平面PCD所成的二面角为 45. 第第 1 1 课时课时 利用空间向量证明平行与垂直利用空间向量证明平行与垂直 (对应学生用
7、书第 123 页) 利用空间向量证明平行问题 (2017天津高考节选)如图 772，在三棱锥PABC中，PA底面 ABC，BAC90.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点， PAAC4，AB2. 图 772 求证：MN平面BDE. 解 如图，以A为原点，分别以， ，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立 AB AC AP 空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)， E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0) 证明：(0,2,0)，(2,0，2) DE DB 设n n(x，y，z)为平面B
8、DE的一个法向量， 则Error! 即Error!不妨设z1，可得n n(1,0,1) 又(1,2，1)， MN 可得n n0. MN 因为MN平面BDE，所以MN平面BDE. / / 规律方法 1恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向 量法证明平行和垂直的关键. 2证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证 直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线 的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算. 跟踪训练 如图 773 所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形
9、，PAD是直角三角 形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点求证：PB平面EFG. 图 773 证明 平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且 PAAD， AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)， F(0,1,1)，G(1,2,0) (2,0，2)，(0，1,0)，(1,1，1)， PB FE FG 设st， PB FE FG 即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)， Error!解得st2
10、， 22， PB FE FG 又与不共线， FE FG ，与共面 PB FE FG PB平面EFG，PB平面EFG. / / 利用空间向量证明垂直问题 (2017开封模拟)如图 774，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边 三角形，ADDE2AB. 求证：平面BCE平面CDE. 【导学号：79140249】 图 774 证明 设ADDE2AB2a，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)， C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a) 33 所以(a，a，a)，(2a,0，a)，(a，a,0)，(0,0，2a) BE 3 BC CD 3
11、 ED 设平面BCE的法向量为n n1(x1，y1，z1)， 由n n10，n n10 可得 BE BC Error! 即Error! 令z12，可得n n1(1，2) 3 设平面CDE的法向量为n n2(x2，y2，z2)， 由n n20，n n20 可得 CD ED Error! 即Error! 令y21，可得n n2(，1,0) 3 因为n n1n n211()0. 33 所以n n1n n2， 所以平面BCE平面CDE. 若本例中条件不变，点F是CE的中点，证明DF平面BCE. 证明 由例 2 知C(2a,0,0)，E(a，a,2a)，平面BCE的法向量 3 n n1(1，2) 3 点
12、F是CE的中点，F， ( 3a 2 ， 3a 2 ，a) DF ( a 2， 3a 2 ，a) n n1，n n1， DF a 2 DF 故DF平面BCE. 规律方法 1.利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标， 从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键. 2.用向量证明垂直的方法 1线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零. 2线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向 量表示. 3面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示. 跟踪训练 如图 775 所示，已知四棱锥PAB
13、CD的底面是直角梯形， ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD. 图 775 证明：(1)PABD； (2)平面PAD平面PAB. 证明 (1)取BC的中点O，连接PO， 平面PBC底面ABCD，PBC为等边三角形， PO底面ABCD. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴， OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示 不妨设CD1，则ABBC2，PO. 3 A(1，2,0)，B(1,0,0)，D(1，1,0)，P(0,0，) 3 (2，1,0)，(1，2，) BD PA 3 (2)1(1)(2)0()0， BD PA 3
14、 ， PA BD PABD. (2)取PA的中点M，连接DM，则M. ( 1 2，1， 3 2) ，(1,0，)， DM ( 3 2，0， 3 2) PB 3 100()0， DM PB 3 2 3 23 ，即DMPB. DM PB 10(2)()0， DM PA 3 2 3 23 ，即DMPA DM PA 又PAPBP， DM平面PAB.DM平面PAD， 平面PAD平面PAB. 利用空间向量解决探索性问题 (2018北京东城区综合练习(二)如图 776，在几何体ABCDEF中，平面ADE平 面ABCD，四边形ABCD为菱形，且DAB60，EAEDAB2EF，EFAB，M为BC的 中点 图 776 (1)求证：FM平面BDE； (2)求直线CF与平面BDE所成角的正弦值； (3)在棱CF上是否存在点G，使BGDE？若存在，求的值；若不存在，请说明理 CG CF 由 解 (1)证明：取CD的中点N，连接MN，FN. 因为N，M分别为CD，BC的中点， 所以MN
