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1、4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式同角三角函数基本关系式及诱导公式 最新考纲考情考向分析 1.理解同角三角函数的基本关系式： sin2xcos2x1，tan x. sin x cos x 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ， 的正弦、余弦、正切的诱导公 2 式. 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式 解决条件求值问题，常与三角恒等变换相结合 起到化简三角函数关系的作用，强调利用三角 公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能 力题型为选择题和填空题，低档难度. 1同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2cos21. (2)商数关系：tan ( k，kZ) sin cos 2
2、2三角函数的诱导公式 公式一二三四五六 角2k(kZ) 2 2 正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口诀函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号 看象限 知识拓展 1同角三角函数关系式的常用变形 (sin cos )212sin cos ；sin tan cos . 2诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限” ，其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名 2 称的变化 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若 ， 为锐角，则 sin2cos
3、21.( ) (2)若 R，则 tan 恒成立( ) sin cos (3)sin()sin 成立的条件是 为锐角( ) (4)若 sin(k) (kZ)，则 sin .( ) 1 3 1 3 题组二 教材改编 2P19 例 6若 sin ， 0，sin xcos x0，cos x0，故 sin xcos x . 7 5 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间 的联系，灵活使用公式进行变形 (2)注意角的范围对三角函数符号的影响 跟踪训练 (1)(2017三明模拟)若 ，则 tan 等于( ) sincos2 sin cos 1 2 A1 B1 C
4、3 D3 答案 D 解析 由已知 ， ， sin cos sin cos 1 2 tan 1 tan 1 1 2 故 tan 3. (2)(2017西安模拟)已知函数 f(x)asin(x)bcos(x)，且 f(4)3，则 f(2 017)的值为 ( ) A1 B1 C3 D3 答案 D 解析 f(4)asin(4)bcos(4) asin bcos 3， f(2 017)asin(2 017)bcos(2 017) asin()bcos() asin bcos 3. 分类讨论思想在三角函数中的应用 典例 (1)已知 A(kZ)，则 A 的值构成的集合是( ) sink sin cosk c
5、os A1，1,2，2 B1,1 C2，2 D1，1,0,2，2 (2)已知 sin ，则 tan() . 2 5 5 sin(5 2 ) cos(5 2 ) 思想方法指导 (1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方 结果进行讨论 (2)利用诱导公式化简时要对题中整数 k 是奇数或偶数进行讨论 解析 (1)当 k 为偶数时，A2； sin sin cos cos 当 k 为奇数时，A2. sin sin cos cos 所以 A 的值构成的集合是2，2 (2)sin 0， 2 5 5 为第一或第二象限角 tan()tan sin(5 2 ) cos(5 2 ) co
6、s sin . sin cos cos sin 1 sin cos 当 是第一象限角时，cos ， 1sin2 5 5 原式 ； 1 sin cos 5 2 当 是第二象限角时，cos ， 1sin2 5 5 原式 . 1 sin cos 5 2 综合知，原式 或 . 5 2 5 2 答案 (1)C (2) 或 5 2 5 2 1已知 sin() ，则 cos 的值为( ) 1 2 A B. 1 2 1 2 C. D 3 2 3 2 答案 D 解析 sin()sin ， 1 2 sin ，cos . 1 21sin2 3 2 2已知 sin ，则 sin4cos4 的值为( ) 5 5 A B
7、 1 5 3 5 C. D. 1 5 3 5 答案 B 解析 sin4cos4sin2cos22sin21 1 . 2 5 3 5 3已知 tan ，且 ，则 sin 等于( ) 1 2 (， 3 2) A B. 5 5 5 5 C. D 2 5 5 2 5 5 答案 A 解析 tan 0，且 ， 1 2 (， 3 2) sin 0， ( 2，) 所以原式sin cos .故选 A. 5(2017广州二测)cos ，则 sin等于( ) ( 12) 1 3 ( 5 12) A. B. 1 3 2 2 3 C D 1 3 2 2 3 答案 A 解析 sinsin ( 5 12) 2( 12) c
8、os . ( 12) 1 3 6(2017孝感模拟)已知 tan 3，则的值是( ) 12sin cos sin2cos2 A. B2 C D2 1 2 1 2 答案 B 解析 原式 sin2cos22sin cos sin2cos2 tan22tan 1 tan21 2. 961 91 7若 sin()2sin，则 sin cos 的值等于( ) ( 2) A B 2 5 1 5 C. 或 D. 2 5 2 5 2 5 答案 A 解析 由 sin()2sin， ( 2) 可得 sin 2cos ， 则 tan 2， sin cos . sin cos sin2cos2 tan 1tan2 2
9、 5 8若角 的终边落在第三象限，则 cos 1sin2 的值为( ) 2sin 1cos2 A3 B3 C1 D1 答案 B 解析 由角 的终边落在第三象限， 得 sin 0，cos 0， 故原式12 cos |cos | 2sin |sin | cos cos 2sin sin 3. 9在ABC 中，若 tan A，则 sin A . 2 3 答案 22 11 解析 因为 tan A0，所以 A 为锐角， 2 3 由 tan A以及 sin2Acos2A1， sin A cos A 2 3 可求得 sin A. 22 11 10已知 为钝角，sin ，则 sin . ( 4) 3 4 (
10、4) 答案 7 4 解析 因为 为钝角，所以 cos， ( 4) 7 4 所以 sincos ( 4) 2( 4) cos. ( 4) 7 4 11若 f(cos x)cos 2x，则 f(sin 15) . 答案 3 2 解析 f(sin 15)f(cos 75)cos 150 cos(18030)cos 30. 3 2 12若 cos(2)，且 ，则 sin() . 5 3 2，0 答案 2 3 解析 由诱导公式可知 cos(2)cos ， 5 3 sin()sin ，由 sin2cos21，可得 sin ， 2 3 ，sin . 2，0 2 3 13若 sin ，cos 是方程 4x22
11、mxm0 的两根，则 m 的值为( ) A1 B1 55 C1 D1 55 答案 B 解析 由题意知 sin cos ，sin cos ， m 2 m 4 又(sin cos )212sin cos ， 1 ， m2 4 m 2 解得 m1，又 4m216m0， 5 m0 或 m4，m1. 5 14已知 为第二象限角，则 cos sin . 1tan2 1 1 tan2 答案 0 解析 原式cos sin sin2cos2 cos2 sin2cos2 sin2 cos sin ， 1 |cos | 1 |sin | 因为 是第二象限角，所以 sin 0，cos 0， 所以 cos sin 11
12、0， 1 |cos | 1 |sin | 即原式等于 0. 15若 sin ，则 cos等于( ) ( 6) 1 3 ( 2 3 2) A B 7 9 1 3 C. D. 1 3 7 9 答案 A 解析 ， ( 3) ( 6) 2 sinsin ( 6) 2( 3) cos . ( 3) 1 3 则 cos2cos21 . ( 2 3 2) ( 3) 7 9 16(2018武汉模拟)已知关于 x 的方程 2x2(1)xm0 的两根为 sin 和 cos 3 ，(0,2) 求：(1)的值； sin2 sin cos cos 1tan (2)m 的值； (3)方程的两根及此时 的值 解 (1)原式 sin2 sin cos cos 1sin cos sin2 sin cos cos2 cos sin sin cos . sin2cos2 sin cos 由条件知 sin cos ， 31 2 故. sin2 sin cos cos 1tan 31 2 (2)由 sin22sin cos cos212sin cos 即(sin cos )212 ， m 2 解得 m. 3 2 (3)由Error!Error! 知Error!Error!或Error!Error! 又 (0,2)，故 或 . 3 6
