《2019版理科数学一轮复习高考帮试题：微专题3 高考中的数列问题（考题帮.数学理） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版理科数学一轮复习高考帮试题：微专题3 高考中的数列问题（考题帮.数学理） （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、微专题微专题 3 3 高考中的数列问题高考中的数列问题 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.已知等差数列an的公差不为 0,前 n 项和 Sn满足=9S2,S4=4S2,则 a2=( ) 2 3 A. B. C. D. 3 4 4 3 4 9 8 9 2.数学文化题九章算术中有一题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗.羊主曰:“我 羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?其意:今有牛、马、羊吃了别人的 禾苗,禾苗主人要求赔偿五斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马 所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,问牛、马、羊的主人各应赔偿
2、多少粟?在这个 问题中,牛主人比羊主人多赔偿( ) A. 斗粟 B. 斗粟 C. 斗粟 D. 斗粟 50 7 10 7 15 7 20 7 3.已知 Sn是等比数列an的前 n 项和,S4=5S2,则的值为( ) 2 7 2 4 A.-2 或-1 B.1 或 2 C.2 或-1D.1 或2 4.已知数列an是公比为 2 的等比数列,满足 a6=a2a10,设等差数列bn的前 n 项和为 Sn,若 b9=2a7,则 S17=( ) A.34 B.39 C.51 D.68 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知数列an满足 2anan+1+an+1-an=0,且 a1=1,则数列an
3、的通项公式为 . 6.已知在等差数列an中,an的前 n 项和为 Sn,a1=1,S13=91,若 =6,则正整数 k= . 三、解答题(共 48 分) 7.(12 分)已知数列an满足 a1=1,且-=2(nN*). 2 + 1 2 (1)求数列an的通项公式; (2)求数列( )n的前 n 项和. 2 1 2 8.(12 分)已知数列an是公差为 1 的等差数列,且 a4,a6,a9成等比数列. (1)求数列an的通项公式; (2)设 bn=(-2+(-1)n,求数列bn的前 2n 项和. ) 2+ 1 + 1 9.(12 分)已知数列an为公差不为 0 的等差数列,a2=3,且 log2
4、a1,log2a3,log2a7成等差数列. (1)求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足 bn=,求数列bn的前 n 项和 Sn. 1 + 1 10.(12 分)在数列an中,a1=4,nan+1-(n+1)an=2n2+2n. (1)求证:数列 是等差数列; (2)求数列 的前 n 项和 Sn. 1 答案答案 1.B 解法一 设等差数列an的首项为 a1,公差为 d,则即 (3 1+ 3) 2 = 9(21+ ), 41+ 6 = 4(21+ ), ? 解得(舍去)或则 a2=a1+d= ,故选 B. ( 1 + ) 2 = 21 + , = 21, ? 1 = 0, = 0 ? 1
5、= 4 9, = 8 9, ? 4 3 解法二 设等差数列an的首项为 a1,公差为 d,由题意得即 (3 2) 2 = 9(1+ 2), 41+ 6 = 4(1+ 2), ? 解得或(舍去),故选 B. 2 2= 1+ 2, 2= 31, ? 2= 4 3, 1= 4 9 ? 2 = 0, 1= 0 ? 2.C 解法一 设羊、马、牛的主人赔偿粟的斗数分别为 a1,a2,a3,则这 3 个数依次成等比数 列,公比 q=2,于是得 a1+2a1+4a1=5,解得 a1= ,故 a3= ,a3-a1= - = ,故牛主人比羊主人多赔 5 7 20 7 20 7 5 7 15 7 偿了 斗粟. 15
6、 7 解法二 羊、马、牛的主人所应赔偿的比例是 124,故牛主人应赔偿 5 = 斗粟,羊主人 4 7 20 7 应赔偿 5 = 斗粟,故牛主人比羊主人多赔偿了 斗粟. 1 7 5 7 15 7 3.C 设等比数列an的公比为 q,若 q=1,则 S2=2a1,S4=4a1,此时,S4=5S2不成立,故公比 q1, 则 Sn=,由 S4=5S2得=,即 q4-5q2+4=0,解得 q2=1 或 q2=4,所以 q=-1 或 1(1 - ) 1 - 1(1 - 4) 1 - 51(1 - 2) 1 - q=2,又=q=-1 或2,故选 C. 2 7 2 4 116 ( 1 3)2 4.D 解法一
7、数列an是公比 q=2 的等比数列,由 a6=a2a10得 a1q5=a1qa1q9,a1q5=1,a6=1,b9=2a7=2a6q=212=4,设等差数列bn的公差为 d,则 S17=17b1+d=17(b1+8d)=17b9=68,故选 D. 17 16 2 解法二 数列an是公比为 2 的等比数列,由等比数列的性质得 a6=a2a10=,a6=1,b9=2a7=2a62=4,等差数列bn的前 17 项和 2 6 S17=17b9=68,故选 D. 17(1+ 17) 2 5.an= 2anan+1+an+1-an=0,2+-=0,- =2,由等差数列的定义可得 是 1 2 - 1 + 1
8、 + 1 + 1 1 + 1 1 1 以 =1 为首项,2 为公差的等差数列,故 =1+2(n-1)=2n-1,an=. 1 1 1 1 2 - 1 6.11 解法一 设等差数列an的公差为 d,则由 S13=91,得 13a1+d=91,根据 a1=1, 13 (13 - 1) 2 得 d=1,所以 an=n,所以 Sk=,所以 =6,所以 k=11. ( + 1) 2 + 1 2 解法二 在等差数列an中,S13=91,根据等差数列的性质,可得 13a7=91,即 a7=7,又 a1=1,所以 可得公差 d=1,即 an=n,所以 Sk=,所以 =6,所以 k=11. ( + 1) 2 +
9、 1 2 7.(1)由题意知数列是以=1 为首项,2 为公差的等差数列, 2 2 1 则=1+(n-1)2=2n-1,(2 分) 2 所以数列an的通项公式为 an=或 an= (6 2 - 1 1, = 1, -2 - 1, 2. ? 分) (2)由(1)知( )n=(2n-1) , 2 1 2 1 2 设数列( )n的前 n 项和为 Sn,则 Sn=1 +3 +5 +(2n-1) , 2 1 2 1 2 1 22 1 23 1 2 Sn=1 +3 +5 +(2n-1) ,(8 分) 1 2 1 22 1 23 1 24 1 2 + 1 -,得 Sn= +2( + + )-(2n-1) 1
10、2 1 2 1 22 1 23 1 2 1 2 + 1 = +2-(2n-1) 1 2 1 4(1 - 1 2 - 1) 1 - 1 2 1 2 + 1 = -(2n+3), 3 2 1 2 + 1 所以 Sn=3-. 2 + 3 2 故数列( )n的前 n 项和为 3-. (12 分) 2 1 2 2 + 3 2 8.(1)因为 a4,a6,a9成等比数列, 所以=a4a9,(2 分) 2 6 所以(a1+5)2=(a1+3)(a1+8), 解得 a1=1,(3 分) 所以 an=n.(5 分) (2)由(1)知,an=n,所以 bn=(-2)n+(-1)n=(-2)n+(-1)n( +).
11、(8 分) 2 + 1 ( + 1) 1 1 + 1 所以数列bn的前 2n 项和 T2n=(-2+22-23+24+-22n-1+22n)+-(1+ )+( + )-( + )+( +) 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 2 1 2 + 1 =+(-1- + + - - + +) - 21 - ( - 2)2 1 - ( - 2) 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 2 1 2 + 1 =+(-1+) 2(4- 1) 3 1 2 + 1 =-.(12 分) 2(4- 1) 3 2 2 + 1 9.(1)设数列an的公差为 d. 由 log2a1,log2a3,log2a7成
12、等差数列,得 2log2a3=log2a1+log2a7,(2 分) 即 2log2(3+d)=log2(3-d)+log2(3+5d),(3 分) 得 log2(3+d)2=log2(3-d)(3+5d), 得(3+d)2=(3-d)(3+5d),解得 d=1 或 d=0(舍去).(5 分) 所以数列an的通项公式为 an=a2+(n-2)d=3+(n-2)1=n+1.(7 分) (2)因为 bn=-,(9 分) 1 + 1 1 ( + 1)( + 2) 1 + 1 1 + 2 所以 Sn= - + - + - +- + -+-= -=.(12 分) 1 2 1 3 1 3 1 4 1 4
13、1 5 1 - 1 1 1 1 + 1 1 + 1 1 + 2 1 2 1 + 2 2( + 2) 10.(1)解法一 nan+1-(n+1)an=2n2+2n 的两边同时除以 n(n+1),得- =2. + 1 + 1 又 =4,所以数列 是首项为 4,公差为 2 的等差数列.(6 分) 1 1 解法二 因为- =2, =4,所以数列 是首项为 4,公差为 2 的等差 + 1 + 1 + 1- ( + 1) ( + 1) 22+ 2 2+ 1 1 数列.(6 分) (2)由(1),得 =a1+2(n-1), 即 =2n+2,即 an=2n2+2n, 故 = = ( -),(9 分) 1 1 22+ 2 1 2 1 ( + 1) 1 2 1 1 + 1 所以 Sn= (1- )+( - )+( -) 1 2 1 2 1 2 1 3 1 1 + 1 = (1-) 1 2 1 + 1 =. （12 2( + 1) 分）
