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1、13.1坐标系与参数方程第1课时坐标系最新考纲考情考向分析1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.会求伸缩变换，求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，难度中档.1平面直角坐标系设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内
2、取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系点O称为极点，射线Ox称为极轴平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度和从射线Ox到射线OM的角度来刻画(如图所示)这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标称为点M的极径，称为点M的极角一般认为0.当极角的取值范围是0,2)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(，)(0)建立一一对应的关系我们设定，极点的极坐标中，极径0，极角可取任意角(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，)由图可知下面关系式成立：或，这就是极坐标与直角坐标
3、的互化公式3常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos 圆心为，半径为r的圆2rsin (0)过极点，倾斜角为的直线(R) 或(R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线cos a过点，与极轴平行的直线sin a(00)设圆的圆心为O，ya与x2(y2)24的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示由对称性知OOB30，ODa.在RtDOB中，易求DBa，B点的坐标为.又B在x2y24y0上，2a24a0，即a24a0，解得a0(舍去)或a3.题型一极坐标与直角坐标的互化1(2016北京改编)在极坐标系中，已知曲线C1：cos s
4、in 10，C2：2cos .(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离解(1)C1：cos sin 10，xy10，表示一条直线由C2：2cos ，得22cos ，x2y22x，即(x1)2y21.C2是圆心为(1,0)，半径为1的圆(2)由(1)知，点(1,0)在直线xy10上，直线C1过圆C2的圆心因此两交点A，B的连线是圆C2的直径两交点A，B间的距离|AB|2r2.2(1)以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求线段y1x(0x1)的极坐标方程(2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为sin
5、2cos 和sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标解(1)y1x化成极坐标方程为cos sin 1，即.0x1，线段在第一象限内(含端点)，0.(2)xcos ，ysin ，由sin2cos ，得2sin2cos ，曲线C1的直角坐标方程为y2x.由sin 1，得曲线C2的直角坐标方程为y1.由得故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1)思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点与原点重合；极轴与x轴的正半轴重合；取相同的单位长度(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式xcos 及ysin 直
6、接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，进行整体代换题型二求曲线的极坐标方程典例 将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C.(1)求曲线C的标准方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程解(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得由xy1，得x221，即曲线C的标准方程为x21.(2)由解得或不妨设P1(1,0)，P2(0,2
7、)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率为k，于是所求直线方程为y1，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3，故所求直线的极坐标方程为.思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程跟踪训练 已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0，直线l的参数方程为(t为参数)，射线OM的极坐标方程为.(1)求圆C和直线l的极坐标方程；(
8、2)已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长解(1)2x2y2，xcos ，ysin ，圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0，22cos 2sin 0，圆C的极坐标方程为2sin.又直线l的参数方程为(t为参数)，消去t后得yx1，直线l的极坐标方程为sin cos .(2)当时，|OP|2sin2，点P的极坐标为，|OQ|，点Q的极坐标为，故线段PQ的长为.题型三极坐标方程的应用典例 (2017全国)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|
9、OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解(1)设点P的极坐标为(，)(0)，点M的极坐标为(1，)(10)由题意知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16，得C2的极坐标方程4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos 22.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.思维升华 极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点与原点重合；极轴与x轴正半轴重合；取相同
10、的长度单位(2)若把直角坐标化为极坐标求极角时，应注意判断点P所在的象限(即角的终边的位置)，以便正确地求出角.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定取正值，0,2)，平面上的点(除去极点)与极坐标(，)(0)建立一一对应关系跟踪训练 (2017广州调研)在极坐标系中，求直线sin2被圆4截得的弦长解由sin2，得(sin cos )2，可化为xy20.圆4可化为x2y216，圆心(0,0)到直线xy20的距离d2，由圆中的弦长公式，得弦长l224.故所求弦长为4.1(2018武汉模拟)在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线l：sin.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标解(1)圆O：cos sin ，即2cos sin ，圆O的直角坐标方程为x2y2xy，即x2y2xy0，直线l：sin，即sin cos 1，则直线l的直
