《2019版理科数学一轮复习高考帮试题：第10章第4讲 直线与圆锥曲线的综合应用（考题帮.数学理） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版理科数学一轮复习高考帮试题：第10章第4讲 直线与圆锥曲线的综合应用（考题帮.数学理） （14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四讲直线与圆锥曲线的综合应用题组1圆锥曲线中弦的相关问题1.2015浙江,5,5分理如图10-4-1,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是()图10-4-1A.|BF|-1|AF|-1B.|BF|2-1|AF|2-1 C.|BF|+1|AF|+1D.|BF|2+1|AF|2+12.2015四川,10,5分理设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)
2、C.(2,3)D.(2,4)3.2014新课标全国,10,5分理设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为()A.334 B.938 C.6332 D.944.2013江西,14,5分理抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点,若ABF为等边三角形,则p=.5.2015山东,20,13分理平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,左、右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.()求椭圆
3、C的方程;()设椭圆E:x24a2+y24b2=1,P为椭圆C上任意一点.过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(i)求|OQ|OP|的值;(ii)求ABQ面积的最大值.题组2直线与圆锥曲线的综合应用6.2014辽宁,10,5分理已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为()A.12 B.23 C.34 D.437.2014湖南,14,5分平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值
4、范围是.8.2016四川,20,13分理已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.()求椭圆E的方程及点T的坐标;()设O是坐标原点,直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:存在常数,使得|PT|2=|PA|PB|,并求的值.9.2015全国卷,20,12分理在直角坐标系xOy中,曲线C:y=x24与直线l:y=kx+a(a0)交于M,N两点.()当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;()y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPM=OPN?说明理由.
5、A组基础题1.2018中原名校高三第三次质量考评,11已知双曲线x24-y22=1右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,2),则APF周长的最小值为()A.4(1+2)B.4+2C.2(2+6)D.6+322.2018唐山市高三五校联考,10直线l与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)交于A,B两点,M是线段AB的中点,若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1,则此双曲线的离心率为()A.2 B.2 C.3 D.33. 2017郑州市第三次质量预测,10椭圆x25+y24=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M,N,当FMN的周长最大时,FMN的面积是()A.55 B.65
6、5 C.855D.4554.2017福建省高三质检,8过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,交其准线于点C,且A,C位于x轴同侧,若|AC|=2|AF|,则|BF|等于()A.2 B.3 C.4 D.55.2018洛阳市尖子生第一次联考,20如图10-4-2,点F是抛物线:x2=2py(p0)的焦点,点A是抛物线上的定点,且AF=(2,0),点B,C是抛物线上的动点,直线AB,AC的斜率分别为k1,k2.(1)求抛物线的方程;(2)若k2-k1=2,点D是抛物线在点B,C处切线的交点,记BCD的面积为S,证明S为定值.图10-4-26.2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市
7、联考,20已知右焦点为F2(c,0)的椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点(1,32),且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)过点(12,0)作直线l与椭圆C交于E,F两点,线段EF的中点为M,点A是椭圆C的右顶点,求直线MA的斜率k的取值范围.B组提升题7.2018辽宁五校联考,12一条动直线l与抛物线C:x2=4y相交于A,B两点,O为坐标原点,若AB=2AG,则(OA-OB)2-4OG2的最大值为()A.24 B.16 C.8 D.-168.2017广州市高三毕业班综合测试,8已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦
8、点,若椭圆C上存在点P使F1PF2为钝角,则椭圆C的离心率的取值范围是()A.(22,1) B.(12,1) C.(0,22) D.(0,12)9.2017合肥市三检,12已知椭圆M:x2a2+y2=1,圆C:x2+y2=6-a2在第一象限有公共点P,设圆C在点P处的切线斜率为k1,椭圆M在点P处的切线斜率为k2,则k1k2的取值范围为()A.(1,6) B.(1,5) C.(3,6) D.(3,5)10.2018湘东五校联考,20已知椭圆C的中心在原点,离心率等于12,它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=83y的焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)如图10-4-3,已知P(2,3),Q(2,-3
9、)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.若直线AB的斜率为12,求四边形APBQ面积的最大值;当A,B运动时,满足APQ=BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值?请说明理由.图10-4-311.2017天星第二次联考,20已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为33,过右焦点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,当直线l的斜率为1时,坐标原点O到直线l的距离为22.(1)求椭圆C的方程;(2)椭圆C上是否存在点P,使得当直线l绕F转到某一位置时,有OP=OA+OB成立?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标与直线l的方程;若不存在,请说明理由.答案1.A由题可知抛物线的
10、准线方程为x=-1.如图D 10-4-2所示,过A作AA2y轴于点A2,过B作BB2y轴于点B2,则SBCFSACF=|BC|AC|=|BB2|AA2|=|BF|-1|AF|-1.故选A.图D 10-4-22.D当直线l的斜率不存在时,这样的直线l恰有2条,即x=5r,此时0r2,又y024x0,即r2-412,所以0r4,又0r2,所以2r0)得焦点F(0,p2),准线l为y=-p2,所以可求得抛物线的准线与双曲线x23-y23=1的交点 A(-12+p22,-p2),B(12+p22,-p2),所以|AB|=12+p2,若ABF为等边三角形,则|AF|=|AB|=12+p2,p|AF|=s
11、in 3,即p12+p2=32,解得p=6.5.()由题意知2a=4,则a=2.又ca=32,a2-c2=b2,可得b=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.()由()知椭圆E的方程为x216+y24=1.(i)设P(x0,y0),|OQ|OP|=,由题意知Q(-x0,-y0).因为x024+y02=1,又(-x0)216+(-y0)24=1,即24(x024+y02)=1,所以=2,即|OQ|OP|=2.(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2).将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.由0,可得m24+16k2,则有x1+x2=-8km1+4
12、k2,x1x2=4m2-161+4k2,所以|x1-x2|=416k2+4-m21+4k2.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以OAB的面积S=12|m|x1-x2|=216k2+4-m2|m|1+4k2=2(16k2+4-m2)m21+4k2=2(4-m21+4k2)m21+4k2.设m21+4k2=t,将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由0,可得m21+4k2.由可知0t1.因此S=2(4-t)t=2-t2+4t.故S23,当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值23.由(i)知,ABQ面积为3S,所以ABQ面积的最大
13、值为63.6.D因为A(-2,3)在抛物线y2=2px的准线上,所以-p2=-2,所以p=4,所以y2=8x,设直线AB的方程为x=k(y-3)-2,将与y2=8x联立,得x=k(y-3)-2,y2=8x,消去x,得y2-8ky+24k+16=0,则=(-8k)2-4(24k+16)=0,即2k2-3k-2=0,解得k=2或k=-12(舍去),将k=2代入解得x=8,y=8,即B(8,8),又F(2,0),所以kBF=8-08-2=43,故选D.7.(-,-1)(1,+)由题意可知机器人的轨迹为一抛物线,其轨迹方程为y2=4x,过点P(-1,0)且斜率为k的直线方程为y=k(x+1),由题意知直线与抛物线无交点,联立直线与抛物线的方程,消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,则=(2k2-4)2-4k41,解得k1或k-1.8.()由已知,a=2b,则椭圆E的方程为x22b2+y2b2=1.由方程组x22b2+y2b2=1,y=-x+3,得3x2-12x+(
