《2019版理科数学一轮复习高考帮试题：第8章第5讲 空间角与距离、空间向量及应用（考题帮.数学理） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版理科数学一轮复习高考帮试题：第8章第5讲 空间角与距离、空间向量及应用（考题帮.数学理） （22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五讲第五讲 空间角与距离、空间向量及应用空间角与距离、空间向量及应用 题组题组 1 1 空间直角坐标系空间直角坐标系 1.2014 北京,7,5 分理在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,). 2 若 S1,S2,S3分别是三棱锥 D-ABC 在 xOy,yOz,zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则( ) A.S1=S2=S3 B.S2=S1且 S2S3 C.S3=S1且 S3S2D.S3=S2且 S3S1 2.2013 新课标全国,9,5 分一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是 (1,0,1),(
2、1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的 正视图可以为( ) A B C D 题组题组 2 2 空间角与距离空间角与距离 3.2017 浙江,9,5 分 如图 8-5-1,已知正四面体 D-ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P,Q,R 分别 为 AB,BC,CA 上的点,AP=PB,=2.分别记二面角 D-PR-Q,D-PQ-R,D-QR-P 的平面角为 ,则( ) 图 8-5-1 A.OGOF,tan ,sin =1,所以 sin 的取值范围是,1. 6 3 2 2 3 6 3 2 6 3 5.(1)取 PA 的中点 F,
3、连接 EF,BF,如图 D 8-5-14 所示.因为 E 是 PD 的中点,所以 EFAD,EF= AD.由BAD=ABC=90得 BCAD,又 BC= AD,所以 EFBC,四边形 BCEF 是平行四边 1 2 1 2 形,CEBF,又 BF平面 PAB,CE平面 PAB,故 CE平面 PAB. (2)由已知得 BAAD,以 A 为坐标原点,的方向为 x 轴正方向,|为单位长,建立如图 D 8- 5-14 所示的空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-), 3 3 =(1,0,0). 图 D 8-5-14 设 M(x
4、,y,z)(0|=sin 45, 即=,化简为(x-1)2+y2-z2=0 . | ( - 1)2+ 2+ 2 2 2 又 M 在棱 PC 上,设=,则 x=,y=1,z=- . 33 由解得(舍去)或 = 1 + 2 2 , = 1, = - 6 2 ? = 1 - 2 2 , = 1, = 6 2 , ? 所以 M(1-,1,),从而=(1-,1,). 2 2 6 2 2 2 6 2 设 m=(x0,y0,z0)是平面 ABM 的法向量,则 即 = 0, = 0, ? (2 -2)0+ 20+60 = 0, 0 = 0, ? 所以可取 m=(0,-,2).于是 cos=. 6 | 10 5
5、 因此二面角 M-AB-D 的余弦值为. 10 5 6.在平面 ABCD 内,过点 A 作 AEAD,交 BC 于点 E. 因为 AA1平面 ABCD, 所以 AA1AE,AA1AD. 如图 D 8-5-15,以,为正交基底,建立空间直角坐标系 A-xyz. 1 因为 AB=AD=2,AA1=,BAD=120, 3 则 A(0,0,0),B(,-1,0),D(0,2,0),E(,0,0),A1(0,0,),C1(,1,). 33333 图 D 8-5-15 (1)=(,-1,-),=(,1,).则 cos=- . 1 33 1 33 1 1 11 | 1|1| ( 3, - 1, -3)( 3
6、,1, 3) 7 1 7 又异面直线所成角的范围为(0, , 2 所以异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值为 . 1 7 (2)平面 A1DA 的一个法向量为=(,0,0). 3 设 m=(x,y,z)为平面 BA1D 的法向量, 又=(,-1,-),=(-,3,0), 1 33 3 则即 1 = 0, = 0, ? 3 - -3 = 0, -3 + 3 = 0. ? 不妨取 x=3,则 y=,z=2, 3 所以 m=(3,2)为平面 BA1D 的一个法向量, 3 从而 cos= . | ( 3,0,0)(3, 3,2) 3 4 3 4 设二面角 B-A1D-A 的大小为 ,则|cos
7、|= . 3 4 因为 0, 所以 sin =. 1 - 2 7 4 因此二面角 B-A1D-A 的正弦值为. 7 4 7.()交线围成的正方形 EHGF 如图 D 8-5-16 所示. 图 D 8-5-16 ()作 EMAB,垂足为 M,则 AM=A1E=4,EM=AA1=8. 因为 EHGF 为正方形, 所以 EH=EF=BC=10. 于是 MH=6,所以 AH=10. 2- 2 以 D 为坐标原点,的方向分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立如图 D 8-5-16 所示的 1 空间直角坐标系 D-xyz,则 A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,
8、8),=(10,0,0),=(0,-6,8). 设 n=(x,y,z)是平面 EHGF 的法向量,则即 = 0, = 0, ? 10 = 0, - 6 + 8 = 0, ? 所以可取 n=(0,4,3). 又=(-10,4,8),故|cos|=. | | 4 5 15 所以 AF 与平面 EHGF 所成角的正弦值为. 4 5 15 8.()设 BD 与 AC 的交点为 O,连接 EO,如图 D 8-5-17 所示. 图 D 8-5-17 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点.又 E 为 PD 的中点,所以 EOPB. 又 EO平面 AEC,PB平面 AEC,所以 PB平面 AEC
9、. ()V= PAABAD=AB.由 V=,可得 AB= . 1 6 3 6 3 4 3 2 作 AHPB 交 PB 于 H. 由题设知 BC平面 PAB,所以 BCAH,故 AH平面 PBC.又 AH=. 3 13 13 所以 A 到平面 PBC 的距离为. 3 13 13 图 D 8-5-18 9.如图 D 8-5-18,以 A 为原点,分别以,的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角 坐标系 A-xyz.依题意可得 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0). ()=(0,2,
10、0),=(2,0,-2). 设 n=(x,y,z)为平面 BDE 的法向量,则即 = 0, = 0, ? 2 = 0, 2 - 2 = 0. ? 不妨设 z=1,可得 n=(1,0,1). 又=(1,2,-1),可得n=0. 因为 MN平面 BDE,所以 MN平面 BDE. ()易知 n1=(1,0,0)为平面 CEM 的一个法向量. 设 n2=(x1,y1,z1)为平面 EMN 的法向量,则 2 = 0, 2 = 0. ? 因为=(0,-2,-1),=(1,2,-1),所以 - 2 1 - 1 = 0, 1+ 21 - 1 = 0. ? 不妨设 y1=1,可得 n2=(-4,1,-2). 因
11、此有 cos=-,于是 sin=. 1 2 | 1 | 2| 4 21 105 21 所以二面角 C-EM-N 的正弦值为. 105 21 ()依题意,设 AH=h(0h4),则 H(0,0,h), 进而可得=(-1,-2,h),=(-2,2,2). 由已知,得|cos|=, | | |2 - 2| 2+ 5 2 3 7 21 整理得 10h2-21h+8=0,解得 h= 或 h= . 8 5 1 2 所以线段 AH 的长为 或 . 8 5 1 2 10.()因为平面 PAD平面 ABCD,ABAD, 所以 AB平面 PAD,所以 ABPD. 又 PAPD,ABPA=A,所以 PD平面 PAB
12、. ()取 AD 的中点 O,连接 PO,CO,如图 D 8-5-19. 图 D 8-5-19 因为 PA=PD,所以 POAD. 因为 PO平面 PAD,平面 PAD平面 ABCD, 所以 PO平面 ABCD. 因为 CO平面 ABCD, 所以 POCO. 因为 AC=CD,所以 COAD. 如图 D 8-5-19 建立空间直角坐标系 O-xyz,则 A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0), P(0,0,1),=(0,-1,-1),=(2,0,-1). 设平面 PCD 的法向量为 n=(x,y,z),则 即 = 0, = 0, ? - - = 0, 2 -
13、= 0, ? 令 z=2,则 x=1,y=-2.所以 n=(1,-2,2). 又=(1,1,-1),所以 cos=-. | 3 3 所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为. 3 3 ()设 M 是棱 PA 上一点,则存在 0,1,使得=. 因此点 M(0,1-,),=(-1,-,). 因为 BM 平面 PCD,所以要使 BM平面 PCD,则n=0, 即(-1,-,)(1,-2,2)=0,解得 = . 1 4 所以在棱 PA 上存在点 M,使得 BM平面 PCD,此时= . 1 4 A 组基础题组基础题 1.B 取 AB 的中点 O1,连接 OO1,如图 D 8-5-20,在ABC 中
14、,AB=2,ACB=90,所以ABC 2 所在小圆 O1是以 AB 为直径的圆,所以 O1A=,且 OO1AO1,又球 O 的直径 PA=4,所以 2 OA=2,所以 OO1=,且 OO1底面 ABC,所以点 P 到平面 ABC 的距离为 2 - 1 2 2 2OO1=2. 2 图 D 8-5-20 2.D 如图 D 8-5-21,连接 AC,A1C,正方体 ABCD-A1B1C1D1中,BDAC,BDAA1, ACAA1=A,BD平面 AA1C,A1CBD, 同理,得 A1CBC1, BDBC1=B,A1C平面 C1BD, 图 D 8-5-21 如图 D 8-5-21,以 AA1为侧棱补作一个正方体 AEFG-A1PQR, 使得侧面 AGRA
