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1、第七讲第七讲 函数与方程函数与方程 题组题组 函数的零点与方程的根函数的零点与方程的根 1.2017 全国卷,12,5 分已知函数 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则 a=( ) A.- B. C. D.1 1 2 1 3 1 2 2.2017 山东,10,5 分理已知当 x0,1时,函数 y=(mx-1)2的图象与 y=+m 的图象有且只 有一个交点,则正实数 m 的取值范围是( ) A.(0,12,+) B.(0,13,+) C.(0,2,+) D.(0,3,+) 3232 3.2016 天津,8,5 分理已知函数 f(x)=(a0,且 a1)在 R 上单调递
2、2+ (4 - 3) + 3, 2;a=0,b=2;a=1,b=2. 6.2015 湖南,15,5 分理已知函数 f(x)=若存在实数 b,使函数 g(x)=f(x)-b 有两个零 3, , 2, . ? 点,则 a 的取值范围是 . 7.2015 湖北,12,5 分理函数 f(x)=4cos2cos( -x)-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为 . 2 2 8.2014 江苏,13,5 分理已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x0,3)时,f(x)=|x2- 2x+ |.若函数 y=f(x)-a 在区间-3,4上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范
3、围是 . 1 2 A 组基础题组基础题 1.2018 豫西南部分示范性高中高三上学期联考,7函数 f(x)=ln x- 的零点所在的区间为( ) 2 2 A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 2.2018 河南省漯河市高级中学三模,7若 f(x)是奇函数,且 x0是 y=f(x)+ex的一个零点,则-x0一 定是下列哪个函数的零点( ) A.y=f(-x)ex-1 B.y=f(-x)e-x+1 C.y=exf(x)-1D.y=exf(x)+1 3.2018 西安八校联考,12已知函数 f(x)=ln x-ax2,若 f(x)恰有两个不同的零点,则 a 的取值范围 为( )
4、A.( ,+)B. ,+) 1 2 1 2 C.(0, ) D.(0, 1 2 1 2 4.2017 吉林省部分学校高考仿真考试,11已知函数 f(x)=-2x2+1,函数 g(x)= 则函数 y=|f(x)|-g(x)的零点的个数为( ) 2( + 1), 0, 2, 0, ? A.3 B.4 C.5 D.6 5.2017 湖南省长沙市高三一模,12对于满足 0 0, 3+ 32- , 0 ? 围为 . 组提升题组提升题 7.2018 豫北豫南名校精英联赛,7已知函数 f(x)=若关于 x 的方程 f 2(x)-af(x) |, 0, 2|, 0, ? +1=0 有且只有 3 个不同的根,则
5、实数 a 的值为( ) A.-2 B.1 C.2 D.3 8.2018 福州四校联考,12已知函数 f(x)=若 F(x)=ff(x)+1+m 有两个零点 x1,x2,则 , 1, 1 - 2, 0, ? 的方程 ff(x)=a 实数解的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 10.2017 陕西省高三一检,12设 x0为函数 f(x)=sin x 的零点,且满足|x0|+f(x0+ )1 时,需满足(m-1) 21+m,解得 m3 或 m0,故这时 m3.综上可知,正实数 m 的取值范围为(0,13,+). 3.C 当 x0, 即只需方程 f(x)=2-x 恰有一个实数解,即 x2+(
6、4a-3)x+3a=2-x,即 x2+2(2a-1)x+3a-2=0 在(-,0) 上恰有唯一的实数解,=4(2a-1)2-4(3a-2)=4(4a2-7a+3)=4(a-1)(4a-3),因为 a ,所以 0.当 1 3 3 4 3a-20,即 0,f(2)=3-log22=20,f(4)= -log24=- 0,f(x)极小值=f(1)=0,函数 f(x)的图象与 x 轴有两个交点,故 x3+ax+b=0 有两个实根; 对于,由 a=-3,b2,得 f(x)=x3-3x+b,f (x)=3(x+1)(x-1),f(x)极大值=f(-1)=2+b0,f(x)极小值=f(1) =b-20,函数
7、 f(x)的图象与 x 轴只有一个交点,故 x3+ax+b=0 仅有一个实根;对于,由 a=0,b=2,得 f(x)=x3+2,f (x)=3x20,f(x)在 R 上单调递增,函数 f(x)的图象与 x 轴只有一个交点, 故 x3+ax+b=0 仅有一个实根;对于,由 a=1,b=2,得 f(x)=x3+x+2,f (x)=3x2+10,f(x)在 R 上单 调递增,函数 f(x)的图象与 x 轴只有一个交点,故 x3+ax+b=0 仅有一个实根. 6.(-,0)(1,+) 令 (x)=x3(xa),h(x)=x2(xa),函数 g(x)=f(x)-b 有两个零点,即函数 y=f(x)的 图
8、象与直线 y=b 有两个交点,结合图象(图略)可得 ah(a),即 aa2,解得 a1,故 a(-,0)(1,+). 7.2 因为 f(x)=4cos2cos( -x)-2sin x-|ln(x+1)|=2(1+cos x)sin x-2sin x-|ln(x+1)|= 2 2 sin 2x-|ln(x+1)|,所以函数 f(x)的零点个数为函数 y=sin 2x 与 y=|ln(x+1)|图象的交点的个数.函 数 y=sin 2x 与 y=|ln(x+1)|的图象如图所示,由图知,两函数图象有 2 个交点,所以函数 f(x)有 2 个零点. 8.(0, ) 函数 y=f(x)-a 在区间-3
9、,4上有互不相同的 10 个零点,即函数 y=f(x),x-3,4与 y=a 1 2 的图象有 10 个不同的交点.在平面直角坐标系中作出函数 f(x)在一个周期内的图象如图所示,可 知当 00,所以函数 f(x)的零点所 1 2 在的区间是(1,2).故选 B. 2.C f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x). x0是 y=f(x)+ex的一个零点,f(x0)+=0,f(x0)=-,把-x0分别代入四个选项,A 中,y=f(x0) 0 0 -1=-1=-1-1=-2,排除 A; - 0 0 - 0 B 中,y=f(x0)+1=-()2+10,排除 B; 0 0 C 中,y=f(-x0)-1
10、=-f(x0)-1=-1=1-1=0,C 正确; - 0 - 0 - 00 D 中,y=f(-x0)+1=1+1=2,排除 D.选 C. - 0 3.C 函数 f(x)的定义域为(0,+),f (x)= -2ax=.当 a0 时,f (x)0 恒成立,函数 f(x)在 1 1 - 22 (0,+)上单调递增,则函数 f(x)不存在两个不同的零点.当 a0 时,由 f (x)=0,得 x=,当 00,函数 f(x)单调递增,当 x时,f (x)0, 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 即 ln 2a0,于是 c=1+ - ( )2, 2 4 + - + - 2 4 1 4 对
11、满足 02.故选 D. + - 6.(-1,0)1,4) 设 g(x)=作出函数 g(x)的图象,如图 D 2-7-7 所示,g(x)的 3- 3 + 1, 0, 3+ 32, 0, ? 极大值为 g(-2)=4,极小值为 g(1)=-1,g(0)=0,当 x=0 时,x3-3x+1=03-30+1=1.函数 f(x)恰有 3 个零点,即函数 g(x)与 y=a 有 3 个交点,a(-1,0)1,4). 组提升题组提升题 7.C 作出函数 f(x)=的图象(图略),令 f(x)=t,关于 x 的方程 f 2(x)-af(x)+1=0 等价于 |, 0, 2|, 0 ? t2-at+1=0,因为
12、 t1t2=1,所以 t1,t2同号,只有 t1,t2同正时,方程才有根,假设 t11, 此时关于 x 的方程 f 2(x)-af(x)+1=0 有 5 个不同的根,只有 t1=t2=1,关于 x 的方程 f 2(x)-af(x) +1=0 有且只有 3 个不同的根,此时 a=2,故选 C. 8.D 因为函数 f(x)=所以 F(x)=由 F(x)=0 得, , 1, 1 - 2, ,所以 x1x2=2et-1(2-t),设 g(t)=2et-1(2-t),则 g(t) - - 1 2 3 3 2 =2et-1(1-t),因为 t ,所以 g(t)=2et-1(1-t)0,解 得 0, 0,2
13、eue2时,f(x)=u 也有 2 个解.因此 ff(x)=a 有 4 个实数解.故选 C. 10.C 依题意得 sin x0=0,所以 x0=k(kZ),即 x0=k,f(x0+ )=sin(x0+ )=sin(x0+ )=cos 1 2 1 2 2 x0=cos k,所以|x0|+f(x0+ )33,即|k|33-cos k,当 k 为偶数时,|k|32,则零点有 31 个;当 k 为 1 2 奇数时,|k|34,则零点有 34 个.所以共有 31+34=65 个零点,故选 C. 11.A 因为函数 f(x)为偶函数,所以 f(-x-1)=f(x+1)=f(x-1),所以函数 f(x)的周期为 2,又当 x- 1,0时,f(x)=-x3,由此在同一平面直角坐标系内作出函数 y=f(x)与 y=|cos x|的图象,如图所示. 由图知关于 x 的方程 f(x)=|cos x|在- , 上的实数解有 7 个.不妨设 x1x2x3x4x5x6x7, 5 2 1 2 则由图得 x1+x2=-4,x3+x5=-2,x4=-1,x6+x7=0,所以方程 f(x)=|cos x|在- , 上的所有实数解的 5 2 1 2 和为-4-2-1+0=-7,故选 A.
