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1、第十五章第十五章 推理与证明推理与证明 题组题组 1 1 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 1.2016 北京,8,5 分理袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空 盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放 入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( ) A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 2.2015 山东,11,5 分理观察下列各式: =40; 0 1 +=41; 0 3 1 3 +=42; 0 5
2、1 5 2 5 +=43; 0 7 1 7 2 7 3 7 照此规律,当 nN*时, += . 0 2 - 1 1 2 - 1 2 2 - 1 - 1 2 - 1 3.2014 安徽,12,5 分如图 15-1,在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC=2.过点 A 作 BC 的垂 2 线,垂足为 A1;过点 A1作 AC 的垂线,垂足为 A2;过点 A2作 A1C 的垂线,垂足为 A3;,依此类推. 设 BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,A5A6=a7,则 a7= . 图 15-1 4.2014 陕西,14,5 分理观察分析下表中的数据: 多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E) 三棱
3、柱569 五棱锥6610 立方体6812 猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是 . 题组题组 2 2 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 5.2017 北京,20,13 分理设an和bn是两个等差数列,记 cn=maxb1-a1n,b2-a2n,bn-ann (n=1,2,3,),其中 maxx1,x2,xs表示 x1,x2,xs这 s 个数中最大的数. ()若 an=n,bn=2n-1,求 c1,c2,c3的值,并证明cn是等差数列; ()证明:或者对任意正数 M,存在正整数 m,当 nm 时, M;或者存在正整数 m,使得 cm,cm+1,cm+2,是等差数列. 6.2015
4、江苏,20,16 分理设 a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为 d(d0)的等差数列. (1)证明:,依次构成等比数列; 2 1 2 2 2 3 2 4 (2)是否存在 a1,d,使得 a1,依次构成等比数列?并说明理由; 2 2 3 3 4 4 (3)是否存在 a1,d 及正整数 n,k,使得,依次构成等比数列?并说明理由. 1 + 2 + 2 3 + 3 4 题组题组 3 3 数学归纳法数学归纳法 7.2014 安徽,21,13 分理设实数 c0,整数 p1,nN*. ()证明:当 x-1 且 x0 时,(1+x)p1+px; ()数列an满足 a1 ,an+1=an+.证明:ana
5、n+1 . 1 - 1 1 - 1 A 组基础题组基础题 1.2018 郑州一中高三入学测试,12数学上称函数 y=kx+b(k,bR,k0)为线性函数.对于非线 性可导函数 f(x),在点 x0附近一点 x 的函数值 f(x),可以用如下方法求其近似代替值:f(x)f(x0) +f (x0)(x-x0).利用这一方法,m=的近似代替值( ) 4.001 A.大于 m B.小于 m C.等于 m D.与 m 的大小关系无法确定 2.2018 吉林百校联盟联考,5甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公 司录用,得到面试结果以后,甲说:丙被录用了;乙说:甲被录用了;丙说:我没被录用
6、.若这三人中 仅有一人说法错误,则下列结论正确的是( ) A.丙被录用了 B.乙被录用了 C.甲被录用了 D.无法确定谁被录用了 3.2017 南昌市三模,4已知 13+23=( )2,13+23+33=( )2,13+23+33 +43=( )2,若 6 2 12 2 20 2 13+23+33+43+n3=3 025,则 n=( ) A.8 B.9 C.10 D.11 4.2017 长春市高三第二次质量监测,14 将 1,2,3,4,这样的正整数按如图 15-2 所示的方式 排成三角形数组,则第 10 行左数第 10 个数为 . 图 15-2 5.2017 甘肃兰州高考实战模拟,14观察下
7、列式子:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1, 由以上可推测出一个一般性结论:对于 nN*,则 1+2+n+2+1= . 6.2017 郑州市高三第三次质量预测,13数学文化题中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里 之外.”其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将 几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放有纵横两种形式,如下表: 表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式 需要纵横相间,个位、百位、万位数用纵式表示,十位、千位、十万位用横式表示,以此类推, 例如 6 613 用算筹表示就是,则
8、 5 288 用算筹可表示为 . B 组提升题组提升题 7.2017 长沙市五月模拟,7某班级有一个学生 A 在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步, 每 52 秒跑完一圈,在学生 A 开始跑步时,在教室内有一个学生 B,往操场看了一次,以后每 50 秒他都往操场看一次,则该学生 B“感觉”到学生 A 的运动是( ) A.逆时针方向匀速前跑 B.顺时针方向匀速前跑 C.顺时针方向匀速后退 D.静止不动 8.2017 沈阳市高三三模,9数学文化题“杨辉三角”又称“贾宪三角”,是因为贾宪约在公元 1050 年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算,而杨辉在公元 1261 年所著的详解九章算 法一书中,
9、辑录了贾宪三角形数表,并称之为“开方作法本源”图.下列数表的构造思路就源 于“杨辉三角”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表 中最后一行仅有一个数,则这个数是( ) 2 017 2 016 2 015 2 0146 5 4 3 2 1 4 033 4 031 4 02911 9 7 5 3 8 064 8 06020 16 12 8 16 124 36 28 20 A.2 01722 016 B.2 01822 015 C.2 01722 015 D.2 01822 016 9.2018 山东省东明一中模拟,15古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多
10、边形数,如三 角形数 1,3,6,10,第 n 个三角形数为,记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k3),以下列出了部分 2+ 2 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数: N(n,3)= n2+ n;正方形数: N(n,4)=n2;五边形数: N(n,5)= n2- n;六边形数: N(n,6) 1 2 1 2 3 2 1 2 =2n2-n,由此推测 N(8,8)= . 10.2017 长春市高三第四次质量监测,16有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师,期间他 们做了一个游戏,张老师的生日是 m 月 n 日,张老师把 m 告诉了甲,把 n 告诉了乙,然后张老师 列出来如下 10
11、个日期供选择:2 月 5 日,2 月 7 日,2 月 9 日,5 月 5 日,5 月 8 日,8 月 4 日,8 月 7 日,9 月 4 日,9 月 6 日,9 月 9 日.看完日期后,甲说:“我不知道,但你一定也不知道.”乙听了甲的 话后,说:“本来我不知道,但现在我知道了.”甲接着说:“哦,现在我也知道了.”请问,张老师的生 日是 . 答案答案 1.B 若袋中有两个球,则红球、黑球各一个,若红球放在甲盒,则黑球放在乙盒,丙盒中没有球,此 时乙盒中黑球多于丙盒中黑球,乙盒中黑球比丙盒中红球多,故可排除 A,D;若袋中有四个球, 则红球、黑球各两个, 若取出两个红球,则红球一个放在甲盒,余下一
12、个放在乙盒,再取出余下 的两个黑球,一个放在甲盒,则余下一个放在丙盒,所以甲盒中一红一黑,乙盒中一个红球,丙盒 中一个黑球,此时乙盒中红球比丙盒中红球多,排除 C,选 B. 2.4n-1 第一个等式,n=1,而右边式子为 40=41-1; 第二个等式,n=2,而右边式子为 41=42-1; 第三个等式,n=3,而右边式子为 42=43-1; 第四个等式,n=4,而右边式子为 43=44-1; 归纳可知,第 n 个等式的右边为 4n-1. 3. 解法一 直接递推归纳:等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC=2,所以 1 4 2 AB=AC=a1=2,AA1=a2=,A1A2=a3=1,A5A6=
13、a7=a1()6= . 2 2 2 1 4 解法二 求通项:等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC=2,所以 2 AB=AC=a1=2,AA1=a2=,An-1An=an+1=sin an=an=2()n,故 a7=2()6= . 2 4 2 2 2 2 2 2 1 4 4.F+V-E=2 三棱柱中 5+6-9=2;五棱锥中 6+6-10=2;立方体中 6+8-12=2,由此归纳可得 F+V-E=2. 5.()c1=b1-a1=1-1=0, c2=maxb1-2a1,b2-2a2=max1-21,3-22=-1, c3=maxb1-3a1,b2-3a2,b3-3a3=max1-31,3-32,
14、5-33=-2. 当 n3 时,(bk+1-nak+1)-(bk-nak)=(bk+1-bk)-n(ak+1-ak)=2-n 1时, 1 - 1,当2 1时. ? 当 d10 时, 取正整数 m ,则当 nm 时,nd1d2,因此 cn=b1-a1n. 2 1 此时,cm,cm+1,cm+2,是等差数列. 当 d1=0 时,对任意 n1, cn=b1-a1n+(n-1)maxd2,0=b1-a1+(n-1)(maxd2,0-a1). 此时,c1,c2,c3,cn,是等差数列. 当 d1 时,有 nd1max, ,则当 nm 时, M. + |1 - 2| + 1 - 1 - 2 - 1 2 1
15、 6.(1)因为=2d(n=1,2,3)是同一个常数, 2 + 1 2 2 + 1 - 所以,依次构成等比数列. 2 1 2 2 2 3 2 4 (2)令 a1+d=a,则 a1,a2,a3,a4分别为 a-d,a,a+d,a+2d(ad,a-2d,d0). 假设存在 a1,d,使得 a1,依次构成等比数列, 2 2 3 3 4 4 则 a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4. 令 t= ,则 1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4(- - ,t0), 2( + ) 1 2( + 2) 1 1 1 3 则(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k
