《2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：4.6 正弦定理和余弦定理 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：4.6 正弦定理和余弦定理 （18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.6正弦定理和余弦定理最新考纲考情考向分析掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识题型多样，中档难度.1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)2R(2)a2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C变形(3)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(4)sin A，sin B，sin C；(5)abcsin
2、Asin Bsin C；(6)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A(7)cos A； cos B；cos C2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)知识拓展1三角形内角和定理在ABC中，ABC；变形：.2三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(3)sin cos ；(
3、4)cos sin .3三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.()(3)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形()(4)在ABC中，.()(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积()题组二教材改编2P10B组T2在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为 答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sin Acos Asin Bc
4、os B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形3P18T1在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于 答案2解析，sin B1，B90，AB2，SABC222.题组三易错自纠4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcos A，则ABC为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形答案A解析由已知得sin Csin Bcos A，sin(AB)sin Bcos A，sin Acos Bcos Asin B0，cos B0，B为钝角，故ABC为钝角三角形5在ABC中，若a18，b24，A4
5、5，则此三角形()A无解 B有两解C有一解 D解的个数不确定答案B解析bsin A12ab.三角形的个数有两个6在ABC中，a4，b5，c6，则 .答案1解析221.题型一利用正、余弦定理解三角形1(2016山东)ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2(1sin A)，则A等于()A B C D答案C解析在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccos A，bc，a22b2(1cos A)，又a22b2(1sin A)，cos Asin A，tan A1，A(0，)，A，故选C.2在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b5c，C2B，则cos C等
6、于()A BC D答案A解析8b5c，由正弦定理，得8sin B5sin C.又C2B，8sin B5sin 2B，8sin B10sin Bcos B.sin B0，cos B，cos Ccos 2B2cos2B1.3设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b .答案1解析因为sin B且B(0，)，所以B或B.又C，BC，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.思维升华 (1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到(2
7、)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断题型二和三角形面积有关的问题典例 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S，求角A的大小(1)证明由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B
8、，所以A2B.(2)解由S，得absin C，故有sin Bsin Csin Asin 2Bsin Bcos B，由sin B0，得sin Ccos B.又B，C(0，)，所以CB.当BC时，A； 当CB时，A.综上，A或A.思维升华 (1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化跟踪训练 (1)(2018昆明质检)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A，a2，SABC，则b的值为 答案解析SABCbcsin Abc，bc3.又由sin A，A为锐
9、角，cos A，4b2c22bc.由可得b.(2)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是 答案解析c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsin C6.题型三正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1判断三角形的形状典例 (1)在ABC中，cos ，则ABC一定是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D无法确定答案A解析由已知得cos2，2cos21cos B，cos Acos B，又0A，B0，sin A1，即A，ABC为直角三角形引申探究1本例(2)中，
10、若将条件变为2sin Acos Bsin C，判断ABC的形状解2sin Acos Bsin Csin(AB)，2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B，sin(AB)0.又A，B为ABC的内角AB，ABC为等腰三角形2本例(2)中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，判断ABC的形状解a2b2c2ab，cos C，又0C，C，又由2cos Asin Bsin C得sin(BA)0，AB，故ABC为等边三角形命题点2求解几何计算问题典例 (1)如图，在ABC中，B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，则AB .答案解析在ACD中，由
11、余弦定理可得cos C，则sin C.在ABC中，由正弦定理可得，则AB.(2)(2018吉林三校联考)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是 答案(，)解析如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CFAD交AB于点F，则BFABBE.在等腰三角形CBF中，FCB30，CFBC2，BF.在等腰三角形ECB中，CEB30，ECB75，BECE，BC2，BE.AB.思维升华 (1)判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用ABC这个结论(2)求解几何计算问题要注意：根据已知的边角画出图形并在图中标示；选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理跟踪训练 (1)(2018安徽六校联考)在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形答案B解析cos2，cos2，(1cos B)cac，acos Bc，2a2a2c2b2，a2b2c2，ABC为直角三角形(2)如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为 答案解析因为sinBAC，
