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1、课时分层训练课时分层训练( (七十七十) ) 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 A A 组 基础达标 一、选择题 1若离散型随机变量X的分布列为( ) X01 P a 2 a2 2 则X的数学期望EX( ) A2 B2 或 1 2 CD1 1 2 C C 因为分布列中概率和为 1,所以 1,即a2a20,解得a2(舍去)或 a 2 a2 2 a1,所以EX . 1 2 2已知某一随机变量X的分布列如下,且EX6.3,则a的值为( ) X4a9 P0.50.1b A5 B6 C7D8 C C 由分布列性质知:0.50.1b1,b0.4, EX40.5a0.190.46.3,a
2、7. 3(2018湖北调考)已知随机变量满足E(1)5,D(1)5,则下列说法正确 的是( ) AE5,D5 BE4,D4 CE5,D5 DE4,D5 D D 因为E(1)1E5,所以E4.D(1)(1)2D5,所以 D5,故选 D. 4罐中有 6 个红球,4 个白球,从中任取 1 球,记住颜色后再放回,连续摸取 4 次,设X 为取得红球的次数,则X的方差D(X)的值为( ) 【导学号:79140379】 A.B. 12 5 24 25 C.D. 8 5 2 6 5 B B 因为是有放回地摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为 ,连续摸 3 5 4 次(做 4 次试验),X为取得
3、红球(成功)的次数,则XB, (4, 3 5) 所以DX4 . 3 5 (1 3 5) 24 25 5(2018合肥二检)已知 5 件产品中有 2 件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止, 记检测的次数为,则E( ) A3B 7 2 CD4 B B 的可能取值为 2,3,4,P(2),P(3) A2 2 A2 5 1 10 ,P(4) ,则 A3 3C1 2C1 3A2 2 A3 5 3 10 A3 3C1 2C1 3A3 3C2 3C1 2 A4 5 3 5 E234 ,故选 B. 1 10 3 10 3 5 7 2 二、填空题 6(2016四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有
4、一枚硬币正面向上时,就说 这次试验成功,则在 2 次试验中成功次数X的均值是_ 法一:先求出成功次数X的分布列,再求均值 3 2 由题意可知每次试验不成功的概率为 ,成功的概率为 ,在 2 次试验中成功次数X的 1 4 3 4 可能取值为 0,1,2,则P(X0),P(X1)C , 1 161 2 1 4 3 4 3 8 P(X2). ( 3 4) 2 9 16 所以在 2 次试验中成功次数X的分布列为 X012 P 1 16 3 8 9 16 则在 2 次试验中成功次数X的均值为 EX01 2 . 1 16 3 8 9 16 3 2 法二:此试验满足二项分布,其中p ,所以在 2 次试验中成
5、功次数X的均值为 3 4 EXnp2 . 3 4 3 2 7设X为随机变量,XB,若随机变量X的均值EX2,则P(X2)等于 (n, 1 3) _ 由XB,EX2,得 80 243 (n, 1 3) npn2,n6, 1 3 则P(X2)C. 2 6( 1 3) 2 (1 1 3) 4 80 243 8某商场在儿童节举行回馈顾客活动,凡在商场消费满 100 元者即可参加射击赢玩具活动, 具体规则如下:每人最多可射击 3 次,一旦击中,则可获奖且不再继续射击,否则一直 射击到 3 次为止设甲每次击中的概率为p(p0),射击次数为Y,若Y的数学期望 EY ,则P的取值范围是_. 7 4 【导学号:
6、79140380】 由已知得P(Y1)p,P(Y2)(1p)p,P(Y3)(1p)2, (0, 1 2) 则EYp2(1p)p3(1p)2p23p3 ,解得p 或p , 7 4 5 2 1 2 又p(0,1),所以p. (0, 1 2) 三、解答题 9在一袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上n号的有n个 (n1,2,3,4),现从袋中任取一球,X表示所取球的标号 (1)求X的分布列、期望和方差; (2)若YaXb,EY1,DY11,试求a,b的值 解 (1)X的取值为 0,1,2,3,4,其分布列为 X01234 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5
7、EX0 1234 1.5, 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 DX(01.5)2 (11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5) 1 2 1 20 1 10 3 20 2 2.75. 1 5 (2)由DYa2DX得 2.75a211,得a2, 又EYaEXb, 当a2 时,由 121.5b,得b2; 当a2 时,由 121.5b,得b4, Error!或Error! 10(2017天津高考)从甲地到乙地要经过 3 个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立, 且在各路口遇到红灯的概率分别为 , . 1 2 1 3 1 4 (1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变
8、量X的分布列和数学 期望; (2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地,求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率 解 (1)随机变量X的所有可能取值为 0,1,2,3. P(X0) , (1 1 2) (1 1 3) (1 1 4) 1 4 P(X1) , 1 2 (1 1 3) (1 1 4) (1 1 2) 1 3 (1 1 4) (1 1 2) (1 1 3) 1 4 11 24 P(X2) , (1 1 2) 1 3 1 4 1 2 (1 1 3) 1 4 1 2 1 3 (1 1 4) 1 4 P(X3) . 1 2 1 3 1 4 1 24 所以,随机变量X的分布列为 X0123 P 1
9、 4 11 24 1 4 1 24 随机变量X的数学期望EX0 12 3. 1 4 11 24 1 4 1 24 13 12 (2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求 事件的概率为P(YZ1)P(Y0,Z1)P(Y1,Z0) P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0) . 1 4 11 24 11 24 1 4 11 48 所以,这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为. 11 48 B B 组 能力提升 11从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸 取 5 次,设摸得白球数为X,已知EX3,则DX( ) A. B. 8 5
10、6 5 C.D. 4 5 2 5 B B 由题意,XB. (5, 3 m3) 又EX3,所以m2. 5 3 m3 则XB,故DX5 . (5, 3 5) 3 5 (1 3 5) 6 5 12一射击测试每人射击三次,每击中目标一次记 10 分,没有击中记 0 分某人每次击中 目标的概率为 ,则此人得分的数学期望为_;方差为_. 2 3 【导学号:79140381】 20 记此人三次射击击中目标X次,得分为Y分,则XB,Y10X, 200 3 (3, 2 3) 所以EY10EX103 20, 2 3 DY100DX1003 . 2 3 1 3 200 3 13(2018云南二检)为吸引顾客,某公司
11、在商场举办电子游戏活动对于A,B两种游戏, 每种游戏玩一次均会出现两种结果,而且每次游戏的结果相互独立,具体规则如下:玩 一次游戏A,若绿灯闪亮,获得 50 分,若绿灯不闪亮,则扣除 10 分(即获得10 分), 绿灯闪亮的概率为 ;玩一次游戏B,若出现音乐,获得 60 分,若没有出现音乐,则扣 1 2 除 20 分(即获得20 分),出现音乐的概率为 .玩多次游戏后累计积分达到 130 分可以 2 5 兑换奖品 (1)记X为玩游戏A和B各一次所得的总分,求随机变量X的分布列和数学期望; (2)设某人玩 5 次游戏B,求该人能兑换奖品的概率 解 (1)随机变量X的所有可能取值为 110,50,
12、30,30,分别对应以下四种情 况: 玩游戏A,绿灯闪亮,且玩游戏B,出现音乐; 玩游戏A,绿灯不闪亮,且玩游戏B,出现音乐; 玩游戏A,绿灯闪亮,且玩游戏B,没有出现音乐; 玩游戏A,绿灯不闪亮,且玩游戏B,没有出现音乐 所以P(X110) , 1 2 2 5 1 5 P(X50) , (1 1 2) 2 5 1 5 P(X30) , 1 2 (1 2 5) 3 10 P(X30). (1 1 2) (1 2 5) 3 10 所以X的分布列为 X1105030 30 P 1 5 1 5 3 10 3 10 故EX110 50 303032. 1 5 1 5 3 10 3 10 (2)设某人玩 5 次游戏B的过程中,出现音乐n次(0n5,nN N),则没出现音 乐 5n次, 依题意得 60n20(5n)130,解得n, 23 8 所以n3 或 4 或 5. 设“某人玩 5 次游戏B能兑换奖品”为事件M, 则P(M)C C . 3 5 ( 2 5) 3 ( 3 5) 2 4 5 ( 2 5) 4 3 5 ( 2 5) 5 992 3 125