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1、2.2.32.2.3 向量数乘运算及其几何意向量数乘运算及其几何意 义义 学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的 运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方 法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题. 知识点一 向量数乘的定义 思考 1 实数与向量相乘结果是实数还是向量？ 答案 向量. 思考 2 向量 3a a，3a a与a a从长度和方向上分析具有怎样的关系？ 答案 3a a的长度是a a的长度的 3 倍，它的方向与向量a a的方向相同. 3a a的长度是a a的长度的 3 倍，它的方向与向量a a的
2、方向相反. 思考 3 a a的几何意义是什么？ 答案 a a的几何意义就是将表示向量a a的有向线段伸长或压缩. 当|1 时，表示a a的有向线段在原方向(0)或反方向(0)上伸长为原来的|倍. 梳理 向量数乘运算 实数与向量a a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a a，其长度与方向规 定如下： (1)|a a|a a|. (2)a a (a a0 0)的方向Error! 特别地，当0 或a a0 0 时，0a a0 0 或0 00 0. 知识点二 向量数乘的运算律 思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？ 答案 结合律，分配律. 梳理 向量数乘运算律 (1)(a a)()
3、a a； (2)()a aa aa a； (3)(a ab b)a ab b. 知识点三 向量共线定理 思考 1 若b b2a a，b b与a a共线吗？ 答案 根据共线向量及向量数乘的意义可知，b b与a a共线. 如果有一个实数，使b ba a(a a0 0)，那么b b与a a是共线向量；反之，如果b b与a a(a a0 0) 是共线向量，那么有且只有一个实数，使得b ba a. 思考 2 若b b与非零向量a a共线，是否存在满足b ba a？若b b与向量a a共线呢？ 答案 若b b与非零向量a a共线，存在满足b ba a；若b b与向量a a共线，当a a0 0，b b0 0
4、 时，不存在满足b ba a. 梳理 (1)向量共线定理 向量a a (a a0 0)与b b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b ba a. (2)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a a、b b，以及任意实数 、1、2，恒有(1a a2b b)1a a2b b. 类型一 向量数乘的基本运算 例 1 (1)化简： 2(2a a4b b)4(5a a2b b). 1 4 解 2(2a a4b b)4(5a a2b b) 1 4 (4a a8b b20a a8b b) 1 4 (16a a16b b) 1 4 4a a4b b. (2)已知向量为a a，b b
5、，未知向量为x x，y y，向量a a，b b，x x，y y满足关系式 3x x2y ya a，4x x3y yb b，求向量x x，y y. 解 Error! 由32，得x x3a a2b b，代入得 3(3a a2b b)2y ya a， 所以x x3a a2b b，y y4a a3b b. 反思与感悟 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移 项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类 项” 、 “公因式”是指向量，实数看作是向量的系数. (2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运
6、算 律，简化运算. 跟踪训练 1 (1)计算：(a ab b)3(a ab b)8a a. 解 (a ab b)3(a ab b)8a a(a a3a a)(b b3b b)8a a 2a a4b b8a a10a a4b b. (2)若 2 (c cb b3y y)b b0 0，其中a a，b b，c c为已知向量，则未知向量y y_. (y y 1 3a a) 1 3 答案 a ab bc c 2 9 2 9 1 9 解析 因为 2 (c cb b3y y)b b0 0， (y y 1 3a a) 1 3 3y ya ab bc c0 0，所以y ya ab bc c. 2 3 2 3 1
7、 3 2 9 2 9 1 9 类型二 向量共线的判定及应用 命题角度 1 判定向量共线或三点共线 例 2 已知非零向量e e1，e e2不共线. (1)若a ae e1e e2，b b3e e12e e2，判断向量a a，b b是否共线. 1 2 1 3 解 b b6a a，a a与b b共线. (2)若e e1e e2，2e e18e e2，3(e e1e e2)，求证：A、B、D三点共线. AB BC CD 证明 e e1e e2，2e e18e e23e e13e e25(e e1e e2)5. AB BD BC CD AB ，共线，且有公共点B， AB BD A、B、D三点共线. 反思
8、与感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表 示，从而判断共线. (2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两 向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b ba a(a a0 0)，还要说明向量 a a，b b有公共点. 跟踪训练 2 已知非零向量e e1，e e2不共线，如果 e e12e e2，5e e16e e2，7e e12e e2，则共线的三个点是_. AB BC CD 答案 A，B，D 解析 e e12e e2， AB BD BC CD 5e e16e e27e7e12e e22(e e12e e2
9、)2. AB ，共线，且有公共点B， AB BD A，B，D三点共线. 命题角度 2 利用向量共线求参数值 例 3 已知非零向量e e1，e e2不共线，欲使ke e1e e2和e e1ke e2共线，试确定k的值. 解 ke e1e e2与e e1ke e2共线， 存在实数，使ke e1e e2(e e1ke e2)， 则(k)e e1(k1)e e2， 由于e e1与e e2不共线，只能有Error! k1. 反思与感悟 利用向量共线定理，即b b与a a(a a0 0)共线b ba a，既可以证明点共线或线共 线问题，也可以根据共线求参数的值. 跟踪训练 3 已知A，B，P三点共线，O为
10、直线外任意一点，若xy，则 OP OA OB xy_. 答案 1 解析 由于A，B，P三点共线，则，在同一直线上，由向量共线定理可知，一定存在实 AB AP 数使得，即()， AP AB OP OA OB OA (1). OP OA OB x1，y，则xy1. 类型三 用已知向量表示其他向量 例 4 在ABC中，若点D满足2，则等于( ) BD DC AD A. B. 1 3AC 2 3AB 5 3AB 2 3AC C. D. 2 3AC 1 3AB 2 3AC 1 3AB 答案 D 解析 示意图如图所示， 由题意可得 AD AB BD AB 2 3BC (). AB 2 3 AC AB 1
11、3AB 2 3AC 反思与感悟 用已知向量表示未知向量的求解思路 (1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中. (2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量. (3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已 知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程. 跟踪训练 4 如图，在ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，3a a，2b b，求， CA CB CD . CE 解 3a a，2b b， CA CB 2b b3a a， AB CB CA 又D，E为边AB的两个三等分点， b ba a， AD 1 3A
12、B 2 3 3a ab ba a2a ab b， CD CA AD 2 3 2 3 3a a CE CA AE 2 3AB 3a a (2b b3a a)a ab b. 2 3 4 3 1.已知a a5e e，b b3e e，c c4e e，则 2a a3b bc c等于( ) A.5e e B.5e e C.23e e D.23e e 答案 C 解析 2a a3b bc c25e e3(3e e)4e e23e e. 2.在ABC中，M是BC的中点，则等于( ) AB AC A. B. C.2 D. 1 2AM AM AM MA 答案 C 解析 如图，作出平行四边形ABEC，M是对角线的交点
13、，故M是BC的中点，且是AE的中点， 由题意知，2，故选 C. AB AC AE AM 3.设e e1 1，e e2 2是两个不共线的向量，若向量m me e1 1ke e2 (kR R)与向量n ne e22e e1共线，则 ( ) A.k0 B.k1 C.k2 D.k 1 2 答案 D 解析 当k 时，m me e1e e2，n n2e e1e e2. 1 2 1 2 所以n n2m m，此时，m m，n n共线. 4.已知ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且，则( ) PA PB PC AB A.P在ABC内部 B.P在ABC外部 C.P在AB边上或其延长线上 D.P在AC边上
14、答案 D 解析 ， PA PB PC PB PA 2，P在AC边上. PC PA 5.如图所示，已知，用，表示. AP 4 3AB OA OB OP 解 OP OA AP OA 4 3AB () OA 4 3 OB OA . 1 3OA 4 3OB 1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如a a，a a是没有意义的. 2.a a的几何意义就是把向量a a沿着a a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|倍.向量 表示与向量a a同向的单位向量. a a |a a| 3.向量共线定理是证明三点共线的重要工具.即三点共线问题通常转化为向量共线问题. 4.已知O，A，B是不共线的三点，且mn(m，nR R)，A，P，B三点共线mn1. OP OA OB 课时作业课时作业 一、选择题 1.下列说法中正确的是( ) A.a a与a a的方向不是相同就是相反 B.若a a，b b共线，则b ba a C.若|b b|2|a a|，则b b2a a D.若b b2a a，则|b b|
