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1、2.3.12.3.1 平面向量基本定理平面向量基本定理 学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当 一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面 向量的综合问题. 知识点一 平面向量基本定理 思考 1 如果e e1，e e2是两个不共线的确定向量，那么与e e1，e e2在同一平面内的任一向量a a能 否用e e1，e e2表示？依据是什么？ 答案 能.依据是数乘向量和平行四边形法则. 思考 2 如果e e1，e e2是共线向量，那么向量a a能否用e e1，e e2表示？为什么？ 答案 不一定，当a a与e e1
2、共线时可以表示，否则不能表示. 梳理 (1)平面向量基本定理：如果e e1，e e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一 平面内的任意向量a a，有且只有一对实数1，2，使a a1e e12e e2. (2)基底：不共线的向量e e1，e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 知识点二 两向量的夹角与垂直 思考 1 平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角 与直线的夹角一样吗？ 答案 存在夹角，不一样. 思考 2 ABC为正三角形，设a a，b b，则向量a a与b b的夹角是多少？ AB BC 答案 如图，延长AB至点D，使ABBD，则a a， B
3、D ABC为等边三角形，ABC60，则CBD120，故向量a a与b b的夹角为 120. 梳理 (1)夹角：已知两个非零向量a a和b b，作a a，b b，则AOB(0 OA OB 180)叫做向量a a与b b的夹角(如图所示). 当0时，a a与b b同向；当180时，a a与b b反向. (2)垂直：如果a a与b b的夹角是 90，则称a a与b b垂直，记作a ab b. 类型一 对基底概念的理解 例 1 如果e e1，e e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) e e1e e2(，R R)可以表示平面内的所有向量； 对于平面内任一向量a a，使a ae e
4、1e e2的实数对(，)有无穷多个； 若向量1e e11e e2与2e e12e e2共线，则有且只有一个实数，使得 1e e11e e2(2e e12e e2)； 若存在实数，使得e e1e e20 0，则0. A. B. C. D. 答案 B 解析 由平面向量基本定理可知，是正确的； 对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底 下的实数对是唯一的； 对于，当两向量的系数均为零，即12120 时，这样的有无数个，故选 B. 反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个 平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这
5、个基底唯一线性表示出来. 跟踪训练 1 若e e1，e e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) A.e e1e e2，e e2e e1 B.2e e1e e2，e e1e e2 1 2 C.2e e23e e1，6e e14e e2 D.e e1e e2，e e1e e2 答案 D 解析 选项 A 中，两个向量为相反向量，即e e1e e2(e e2e e1)，则e e1e e2，e e2e e1为共线 向量；选项 B 中，2e e1e e22(e e1e e2)，也为共线向量；选项 C 中， 1 2 6e e14e e22(2e e23e e1)，为共线向量.根
6、据不共线的向量可以作为基底，只有选项 D 符合. 类型二 向量的夹角 例 2 已知|a a|b b|2，且a a与b b的夹角为 60，设a ab b与a a的夹角为，a ab b与a a的 夹角是，求. 解 如图，作a a，b b，且AOB60， OA OB 以OA、OB为邻边作OACB， 则a ab b，a ab b， OC BA OA OB a a. BC OA 因为|a a|b b|2，所以OAB为正三角形， 所以OAB60ABC， 即a ab b与a a的夹角60. 因为|a a|b b|，所以平行四边形OACB为菱形， 所以OCAB，所以COA906030， 即a ab b与a a
7、的夹角30， 所以90. 反思与感悟 (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向 量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. (2)特别地，a a与b b的夹角为，1a a与2b b(1、2是非零常数)的夹角为0，当 120 时，0. 跟踪训练 2 已知A，B，C为圆O上的三点，若 ()，则与的夹角为 AO 1 2 AB AC AB AC _. 答案 90 解析 由 ()知，O，B，C三点共线，且O是线段BC的中点，故线段BC是圆O AO 1 2 AB AC 的直径，从而BAC90，因此与的夹角为 90. AB AC 类型三 平面向量基本定理的应用 例 3 如图所示
8、，在ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若a a，b b，试以 AB AD a a，b b为基底表示，. DE BF 解 四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点， 2，2， AD BC BE BA CD CF b b，a a. BE 1 2AD 1 2 CF 1 2BA 1 2AB 1 2 DE DA AB BE AD AB BE b ba ab ba ab b， 1 2 1 2 b ba a. BF BC CF AD CF 1 2 引申探究 若本例中其他条件不变，设a a，b b，试以a a，b b为基底表示，. DE BF AB AD 解 取CF的中点G，连
9、接EG. E、G分别为BC，CF的中点， b b， EG 1 2BF 1 2 a ab b. DG DE EG 1 2 又， DG 3 4DC 3 4AB (a ab b)a ab b. AB 4 3DG 4 3 1 2 4 3 2 3 又， AD BC BF FC BF 1 2DC BF 1 2AB b b (a ab b) AD BC 1 2 4 3 2 3 a ab b. 2 3 4 3 反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性 运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基 底表示向量的唯一性求解. 跟踪训练 3
10、 如图所示，在AOB中，a a，b b，M，N分别是边OA，OB上的点，且 OA OB a a，b b，设与相交于点P，用基底a a，b b表示. OM 1 3 ON 1 2 AN BM OP 解 ，. OP OM MP OP ON NP 设m，n，则 MP MB NP NA mm() OP OM MB 1 3OA OB OM a am(b ba a) (1m)a amb b， 1 3 1 3 1 3 nn() OP ON NA 1 2OB OA ON b bn(a ab b) (1n)b bna a. 1 2 1 2 1 2 a a，b b不共线， Error!即Error! a ab b.
11、 OP 1 5 2 5 1.下列关于基底的说法正确的是( ) 平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； 基底中的向量可以是零向量； 平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的. A. B. C. D. 答案 C 解析 零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故错，正确. 2.在直角三角形ABC中，BAC30，则与的夹角等于( ) AC BA A.30 B.60 C.120 D.150 答案 D 解析 由向量夹角定义知，与的夹角为 150. AC BA 3.已知向量e e1，e e2不共线，实数x，y满足(2x3y)e e1(3x4y)e e26e
12、e13e e2，则 x_，y_. 答案 15 12 解析 向量e e1，e e2不共线， Error!解得Error! 4.如图所示，在正方形ABCD中，设a a，b b，c c，则当以a a，b b为基底时，可表 AB AD BD AC 示为_，当以a a，c c为基底时，可表示为_. AC 答案 a ab b 2a ac c 解析 由平行四边形法则可知，a ab b，以a a，c c为基底时将平移，使点B与 AC AB AD BD 点A重合，再由三角形法则和平行四边形法则即可得到. 5.已知在梯形ABCD中，ABDC，且AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设 a a，b b，试用a
13、a、b b为基底表示， ，. AD AB DC BC EF 解 连接FD，DCAB，AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点， DC綊FB. 四边形DCBF为平行四边形. 依题意， DC FB b b， 1 2AB 1 2 BC FD AD AF a ab b， AD 1 2AB 1 2 EF DF DE FD DE BC 1 2DC b bb ba a. (a a 1 2b b) 1 2 1 2 1 4 1.对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的.平面内两向 量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件. (2)零向
14、量与任意向量共线，故不能作为基底. 2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向 分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选 择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决. 课时作业课时作业 一、选择题 1.设e e1，e e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A.e e1e e2和e e1e e2 B.3e e14e e2和 6e e18e e2 C.e e12e e2和 2e e1e e2 D.e e1和e e1e e2 答案 B 解析 B 中，6e e18e e22(3e e14e e2)， (6e e18e e2)(3e e14e e2)， 3e
