《2018版高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换导学案新人教A版必修4_》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换导学案新人教A版必修4_（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.23.2 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2. 了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒 等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用. 知识点一 半角公式 思考 1 我们知道倍角公式中， “倍角是相对的” ，那么对余弦的二倍角公式，若用 2替换 ，结果怎样？ 答案 结果是 cos 2cos2112sin2cos2sin2. 2 2 2 2 思考 2 根据上述结果，试用 sin ，cos 表示 sin ，cos ，tan . 2 2 2 答案
2、cos2，cos ， 2 1cos 2 2 1cos 2 同理 sin ，tan 2 1cos 2 2 sin 2 cos 2 . 1cos 1cos 思考 3 利用 tan 和倍角公式又能得到 tan 与 sin ，cos 怎样的关系？ sin cos 2 答案 tan， 2 sin 2 cos 2 sin 2 2cos 2 cos 2 2cos 2 sin 1cos tan . 2 sin 2 cos 2 sin 2 2sin 2 cos 2 2sin 2 1cos sin 梳理 sin ， 2 1cos 2 cos ， 2 1cos 2 tan 2 1cos 1cos sin 1cos
3、. 1cos sin 知识点二 辅助角公式 思考 1 asin xbcos x化简的步骤有哪些？ 答案 (1)提常数，提出得到 a2b2 . a2b2( a a2b2 sin x b a2b2cos x) (2)定角度，确定一个角满足： cos ，sin (或 sin ，cos ).一般为 a a2b2 b a2b2 a a2b2 b a2b2 特殊角，则得到(cos sin xsin cos x)(或(sin sin ( 4 ， 3 等) a2b2a2b2 xcos cos x). (3)化简、逆用公式得asin xbcos xsin(x)(或asin xbcos a2b2 xcos(x).
4、 a2b2 思考 2 在上述化简过程中，如何确定所在的象限？ 答案 所在的象限由a和b的符号确定. 梳理 辅助角公式： asin xbcos xsin(x).(其中 tan ) a2b2 b a 类型一 应用半角公式求值 例 1 已知 sin ，3，求 cos和 tan . 4 5 5 2 2 2 解 sin ，且3，cos 4 5 5 21sin2 . 3 5 由 cos 2cos21，得 cos2 . 2 2 1cos 2 1 5 ，cos . 5 4 2 3 2 2 1cos 2 5 5 tan 2. 2 sin 1cos 反思与感悟 (1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条
5、件讨论. (2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： 先化简所求的式子； 观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手). 跟踪训练 1 已知 sin ，且 0，cos . 2 2 2 2 1cos 2 6 3 2.已知 tan3，则 cos 等于( ) 2 A. B. C. D. 4 5 4 5 4 15 3 5 答案 B 解析 cos cos2 2 sin2 2 cos2 2 sin2 2 . 1tan2 2 1tan2 2 132 132 4 5 3.函数f(x)sin2xsin xcos x在区间上的最大值是( ) 3 4 ， 2 A.1 B.2 C. D.3 3 2
6、答案 C 解析 f(x)sin 2xsin ， 1cos 2x 2 3 2 (2x 6) 1 2 x， 4 ， 2 2x， 6 3 ，5 6 sin， (2x 6) 1 2，1 f(x)max1 ，故选 C. 1 2 3 2 4.函数f(x)sin xcos x，x的最小值为 . 0， 2 答案 1 解析 f(x)sin，x. 2 (x 4) 0， 2 x， 4 4 4 f(x)minsin1. 2 ( 4) 5.化简：.(1800，aR R)，且f(x)的图象在y轴 3 右侧的第一个最高点的横坐标是，则的值为( ) 6 A. B. C. D. 1 2 1 3 2 3 2 3 答案 A 解析
7、f(x)cos 2x sin 2xa 3 2 1 2 3 2 sina， (2x 3) 3 2 依题意得 2 . 6 3 2 1 2 6.设a cos 6sin 6，b2sin 13cos 13，c ，则有( ) 1 2 3 2 1cos 50 2 A.cba B.abc C.acb D.bca 答案 C 解析 asin 30cos 6cos 30sin 6sin(306) sin 24， b2sin 13cos 13sin 26， csin 25， ysin x在0，上是单调递增的， 2 acb. 7.已知 sin ，cos ()，则 tan等于( ) m3 m5 42m m5 2 2 A.
8、 B.5 1 3 C.5 或 D. 或 5 1 3 1 3 答案 B 解析 由 sin2cos21，得()2()21， m3 m5 42m m5 解得m0 或 8，当m0 时，sin 0，不符合. 2 m0 舍去，故m8， sin ，cos ， 5 13 12 13 tan 5. 2 1cos sin 112 13 5 13 二、填空题 8.设 56，cosa，则 sin 的值为 . 2 4 答案 1a 2 解析 sin2， 4 1cos 2 2 (5，6)， 4 ( 5 4 ，3 2 ) sin . 4 1cos 2 2 1a 2 9.sin220sin 80sin 40的值为 . 答案 3
9、 4 解析 原式sin220sin(6020)sin(6020) sin220(sin 60cos 20cos 60sin 20)(sin 60cos 20cos 60 sin 20) sin220sin260cos220cos260sin220 sin220 cos220 sin220 3 4 1 4 sin220 cos220 . 3 4 3 4 3 4 10.函数f(x)sin(2x)2sin2x的最小正周期是 . 42 答案 解析 f(x)sin 2xcos 2x(1cos 2x) 2 2 2 22 sin 2xcos 2xsin(2x)， 2 2 2 22 42 T. 2 2 三、解
10、答题 11.已知 sinsin ，0，求 cos 的值. ( 3) 4 3 5 2 解 sinsin ( 3) sin cos cos sin sin 3 3 sin cos . 3 2 3 2 4 3 5 sin cos ， 3 2 1 2 4 5 sin . ( 6) 4 5 0， 2 3 6 6 cos . ( 6) 3 5 cos cos( 6) 6 coscos sinsin ( 6) 6 ( 6) 6 . 3 5 3 2 ( 4 5) 1 2 3 34 10 12.求证：tan tan . 3x 2 x 2 2sin x cos xcos 2x 证明 左边tan tan 3x 2
11、x 2 sin 3x 2 cos 3x 2 sin x 2 cos x 2 sin 3x 2 cos x 2cos 3x 2 sin x 2 cos 3x 2 cos x 2 sin(3x 2 x 2) cos 3x 2 cos x 2 sin x cos 3x 2 cos x 2 2sin x cos(3x 2 x 2)cos( 3x 2 x 2) 右边. 2sin x cos xcos 2x 原等式得证. 13.已知 cos 2， 7 25 2 (1)求 tan 的值； (2)求的值. 2cos2 2 sin 2sin 4 解 (1)因为 cos 2， 7 25 所以， cos2sin2
12、cos2sin2 7 25 所以， 1tan2 1tan2 7 25 解得 tan ， 3 4 因为，所以 tan . 2 3 4 (2)因为，tan ， 2 3 4 所以 sin ，cos ， 3 5 4 5 所以 2cos2 2 sin 2sin 4 1cos sin cos sin 4. 14 5 3 5 4 5 3 5 四、探究与拓展 14.已知AB，那么 cos2Acos2B的最大值是 ，最小值是 . 2 3 答案 3 2 1 2 解析 AB， 2 3 cos2Acos2B (1cos 2A1cos 2B) 1 2 1 (cos 2Acos 2B) 1 2 1cos(AB)cos(A
13、B) 1coscos(AB) 2 3 1 cos(AB)， 1 2 当 cos(AB)1 时， 原式取得最大值 ； 3 2 当 cos(AB)1 时，原式取得最小值 . 1 2 15.已知函数f(x)sinsin xcos2x. ( 2 x) 3 (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论f(x)在上的单调性. 6 ，2 3 解 (1)f(x)sinsin xcos2x ( 2 x) 3 cos xsin x(1cos 2x) 3 2 sin 2xcos 2x 1 2 3 2 3 2 sin， (2x 3) 3 2 因此f(x)的最小正周期为 ，最大值为. 2 3 2 (2)当x时，02x，从而 6 ，2 3 3 当 02x，即x时，f(x)单调递增， 3 2 6 5 12 当2x，即x时，f(x)单调递减. 2 3 5 12 2 3 综上可知，f(x)在
