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1、1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)学习目标1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期.3.掌握函数ysin x，ycos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一函数的周期性思考1如果函数f(x)满足f(x3)f(x)，那么3是f(x)的周期吗？答案不一定.必须满足当x取定义域内的每一个值时，都有f(x3)f(x)，才可以说3是f(x)的周期.思考2所有的函数都具有周期性吗？答案不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.思考3周期函数都有最小正周期吗？答案周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数f(x
2、)c(c为常数，xR)，所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.梳理函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.知识点二正弦函数、余弦函数的周期性思考1证明函数ysin x和ycos x都是周期函数.答案sin(x2)sin x，cos(x2)cos x，ysin x和ycos x都是周期函数，且2就是它们的一个周期.思考
3、2证明函数f(x)Asin(x)(或f(x)Acos(x)(A0)是周期函数.答案由诱导公式一知，对任意xR，都有Asin(x)2Asin(x)，所以AsinAsin(x)，即ff(x)，所以f(x)Asin(x)(0)是周期函数，就是它的一个周期.同理，函数f(x)Acos(x)(0)也是周期函数.梳理由sin(x2k)sin x，cos(x2k)cos x(kZ)知，ysin x与ycos x都是周期函数，2k (kZ且k0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2.知识点三正弦函数、余弦函数的奇偶性思考对于xR，sin(x)sin x，cos(x)cos x，这说明正弦函数、余弦函数具备
4、怎样的性质？答案 奇偶性.梳理(1)对于ysin x，xR恒有sin(x)sin x，所以正弦函数ysin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称.(2)对于ycos x，xR恒有cos(x)cos x，所以余弦函数ycos x是偶函数，余弦曲线关于y轴对称.类型一三角函数的周期性例1求下列函数的最小正周期.(1)ysin(2x)(xR)；(2)y|sin x|(xR).解(1)方法一令z2x，因为xR，所以zR.函数f(x)sin z的最小正周期是2，即变量z只要且至少要增加到z2，函数f(x)sin z(zR)的值才能重复取得.而z22x22(x)，所以自变量x只要且至少要增加到x，函数值才能重
5、复取得，所以函数f(x)sin(xR)的最小正周期是.方法二f(x)sin的最小正周期为.(2)因为y|sin x|(kZ).其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为.反思与感悟对于形如函数yAsin(x)，A0时的最小正周期的求法常直接利用T来求解，对于y|Asin x|的周期情况常结合图象法来求解.跟踪训练1求下列函数的周期.(1)ysin；(2)y|cos 2x|.解(1)T4.(2)T.类型二三角函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)sin；(2)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)；(3)f(x).解(1)显然xR，f(x)cos x，f(x)cos cos
6、 xf(x)，f(x)是偶函数.(2)由得1sin x0，xR)的周期T.2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.课时作业一、选择题1.下列函数中，周期为的是()A.ysin B.ysin 2xC.ycos D.ycos(4x)答案D解析T.2.函数f(x)sin的最小正周期为，其中0，则等于()A.5 B.10 C.15 D.20答案B3.已知aR，函数f(x)sin x|a|(xR)为奇函数，则a等于()A.0 B.1 C.1 D.1答案A解析因为f(x)
7、为奇函数，所以f(x)sin(x)|a|f(x)sin x|a|，所以|a|0，从而a0，故选A.4.下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是()A.ycos|2x| B.y|sin x|C.ysin D.ycos答案D解析ycos|2x|是偶函数，y|sin x|是偶函数，ysincos 2x是偶函数，ycossin 2x是奇函数，根据公式求得其最小正周期T.5.函数ycos(k0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是()A.10 B.11 C.12 D.13答案D解析T2，即k4，正整数k的最小值是13.6.函数y的奇偶性为()A.奇函数B.既是奇函数也是偶函数C.偶函数D.非奇非偶函数答案D解析由题意知，当1sin x0，即sin x1时，y|sin x|，所以函数的定义域为x|x2k，kZ，由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数.7.函数f(x)3sin(x)是()A.周期为3的偶函数 B.周期为2的偶函数C.周期为3的奇函数 D.周期为的偶函数答案A二、填空题8.若0，g(x)sin(2x)是偶函数，则的值为 .答案解析要使g(x)sin(2x)为偶函数，则需k，
