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1、1.4.11.4.1 正弦函数、余弦函数的图正弦函数、余弦函数的图 象象 学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线 和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与 余弦曲线之间的联系. 知识点一 正弦函数、余弦函数的概念 思考 从对应的角度如何理解正弦函数、余弦函数的概念？ 答案 实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的 正弦(或余弦)值.这样，任意给定一个实数x，有唯一确定的值 sin x(或 cos x)与之对应. 由这个对应法则所确定的函数ysin x(或ycos x)叫做正
2、弦函数(或余弦函数)，其定义 域是 R R. 知识点二 几何法作正弦函数、余弦函数的图象 思考 1 课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图象的？其基本步骤是什么？ 答案 利用正弦线，这种作图方法称为“几何法” ，其基本步骤如下： 作出单位圆：作直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧的x轴上取一点O1，作出以O1 为圆心的单位圆； 等分单位圆，作正弦线：从O1与x轴的交点A起，把O1分成 12 等份.过O1上各分点 作x轴的垂线，得到对应于 0， ， ， ，2 等角的正弦线； 6 3 2 找横坐标：把x轴上从 0 到 2 这一段分成 12 等份； 找纵坐标：把角x的正弦线向右平移，使它的起点
3、与x轴上对应的点x重合，从而得到 12 条正弦线的 12 个终点； 连线：用光滑的曲线将 12 个终点依次从左至右连接起来，即得到函数ysin x，x0，2的图象，如图. 因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数ysin x，x2k，2(k1)， kZ Z 且k0 的图象与函数ysin x，x0，2)的图象的形状完全一致.于是只要将函数 ysin x，x0，2)的图象向左、向右平行移动(每次 2 个单位长度)，就可以得到正 弦函数ysin x，xR R 的图象，如图. 思考 2 如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象？ 答案 把ysin x，xR R 的图象向左平移个单位长度，
4、即可得到ycos x，xR R 的图象. 2 梳理 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线. 知识点三 “五点法”作正弦函数、余弦函数的图象 思考 1 描点法作函数图象有哪几个步骤？ 答案 列表、描点、连线. 思考 2 “五点法”作正弦函数、余弦函数在x0，2上的图象时是哪五个点？ 答案 画正弦函数 图象的五点 (0，0 ) ( 2 ，1) (，0)( 3 2 ，1) (2，0) 画余弦函数 图象的五点 (0，1 ) ( 2 ，0) (，1)( 3 2 ，0) (2，1) 梳理 “五点法”作正弦函数ysin x、余弦函数ycos x，x0，2图象的步骤： (1)列表 x0 2
5、 3 2 2 sin x010 1 0 cos x10 1 01 (2)描点 画正弦函数ysin x，x0，2的图象，五个关键点是 (0，0)，(，0)，(2，0)； ( 2 ，1) ( 3 2 ，1) 画余弦函数ycos x，x0，2的图象，五个关键点是 (0，1)，(，1)，(2，1). ( 2 ，0) ( 3 2 ，0) (3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线、余弦曲线的简图. 类型一 “五点法”作图的应用 例 1 利用“五点法”作出函数y1sin x(0x2)的简图. 解 (1)取值列表： x0 2 3 2 2 sin x010 1 0 1sin x 10121 描点连线，如图
6、所示. 反思与感悟 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即ysin x或 ycos x的图象在0，2内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常 用方法. 跟踪训练 1 用“五点法”作出函数y1cos x(0x2)的简图. 解 列表如下： x0 2 3 2 2 cos x10 1 01 1cos x 01210 描点并用光滑的曲线连接起来，如图. 类型二 利用正弦、余弦函数的图象求定义域 例 2 求函数f(x)lg sin x的定义域. 16x2 解 由题意，得x满足不等式组Error! 即Error!作出ysin x的图象，如图所示. 结合图象可得x4，)(0，)
7、. 反思与感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端 点的取舍. 跟踪训练 2 求函数y 的定义域. log2 1 sin x1 解 为使函数有意义，需满足Error! 即 0sin x . 1 2 由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，可得函数的定义域为x|2kx2k或 6 2kx2k，kZ Z. 5 6 类型三 与正弦、余弦函数有关的函数零点问题 命题角度 1 零点个数问题 例 3 在同一坐标系中，作函数ysin x和ylg x的图象，根据图象判断出方程 sin xlg x的解的个数. 解 建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数ysin x，x0，2的
8、图象，再向 右连续平移 2 个单位，得到ysin x的图象. 描出点(1，0)，(10，1)，并用光滑曲线连接得到ylg x的图象，如图所示. 由图象可知方程 sin xlg x的解有 3 个. 反思与感悟 三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正 是数形结合思想方法的应用. 跟踪训练 3 方程x2cos x0 的实数解的个数是 . 答案 2 解析 作函数ycos x与yx2的图象，如图所示， 由图象可知，原方程有两个实数解. 命题角度 2 参数范围问题 例 4 方程 sin(x) 在0，上有两实根，求实数m的取值范围及两实根之和. 3 m 2 解 作出y1sin(
9、x)，y2 的图象如图，由图象可知， 3 m 2 要使y1sin(x)，y2 在区间0，上有两个不同的交点，应满足 1，即 3 m 2 3 2 m 2 m2. 3 设方程的两实根分别为x1，x2，则由图象可知x1与x2关于x对称，于是 6 x1x22，所以x1x2. 6 3 反思与感悟 准确作出函数图象是解决此类问题的关键，同时应抓住“临界”情况进行分析. 跟踪训练 4 若函数f(x)sin x2m1，x0，2有两个零点，求m的取值范围. 解 由题意可知，sin x2m10 在0，2上有 2 个根，即 sin x2m1 有两个根， 可转化为ysin x与y2m1 两函数的图象有 2 个交点.
10、由ysin x图象可知， 12m11，且 2m10， 解得1m0，且m . 1 2 m(1， )( ，0). 1 2 1 2 1.用“五点法”作y2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A.0， ，2 B.0， ， ， 2 3 2 4 2 3 4 C.0，2，3，4 D.0， ， ， ， 6 3 2 2 3 答案 B 解析 “五点法”作图是当 2x0， ，2 时的x的值，此时 2 3 2 x0， ， ，故选 B. 4 2 3 4 2.下列图象中，ysin x在0，2上的图象是( ) 答案 D 解析 由ysin x在0，2上的图象作关于x轴的对称图形，应为 D 项. 3.函数y
11、cos x，x0，2的图象与直线y 的交点有 个. 1 2 答案 2 解析 作ycos x，x0，2的图象及直线y (图略)，可知两函数图象有 2 个交点. 1 2 4.函数y的定义域为 . 2sin x1 答案 2k，2k，kZ Z 6 5 6 解析 由题意知，自变量x应满足 2sin x10， 即 sin x .由ysin x在0，2的图象， 1 2 可知x， 6 5 6 所以y的定义域为，kZ Z. 2sin x1 6 2k，5 6 2k 5.请用“五点法”画出函数y sin的图象. 1 2 (2x 6) 解 令X2x，则x变化时，y的值如下表： 6 X0 2 3 2 2 x 12 3
12、7 12 5 6 13 12 y0 1 2 0 1 2 0 描点画图： 将函数在上的图象向左、向右平移即得y sin的图象. 12， 13 12 1 2 (2x 6) 1.对“五点法”画正弦函数图象的理解 (1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度 不高，只要描出函数图象的“关键点” ，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草 图. (2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点. 2.作函数yasin xb的图象的步骤： 3.用“五点法”画的正弦型函数在一个周期0，2内的图象，如果要画出在其他区间上的 图象，可依据图象的变化
13、趋势和周期性画出. 课时作业课时作业 一、选择题 1.对于正弦函数ysin x的图象，下列说法错误的是( ) A.向左右无限伸展 B.与ycos x的图象形状相同，只是位置不同 C.与x轴有无数个交点 D.关于y轴对称 答案 D 解析 由正弦曲线知，A，B，C 均正确，D 不正确. 2.用五点法画ysin x，x0，2的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A. B. ( 6 ，1 2) ( 2 ，1) C.(，0) D.(2，0) 答案 A 解析 易知不是关键点. ( 6 ，1 2) 3.已知f(x)sin，g(x)cos，则将f(x)的图象( ) (x 2) (x 2) A.与g(x)的图象
14、相同 B.与g(x)的图象关于y轴对称 C.向左平移个单位，得g(x)的图象 2 D.向右平移个单位，得g(x)的图象 2 答案 D 解析 f(x)sin， (x 2) g(x)coscossin x， (x 2) ( 2 x) f(x)的图象向右平移个单位得到g(x)的图象. 2 4.函数ysin x，x的简图是( ) 2 ，3 2 答案 D 5.方程 sin x的根的个数是( ) x 10 A.7 B.8 C.9 D.10 答案 A 解析 在同一坐标系内画出y和ysin x的图象如图所示. x 10 根据图象可知方程有 7 个根. 6.函数ycos x|cos x|，x0，2的大致图象为( ) 答案 D 解析 由题意得yError!显然只有 D 合适. 7.若函数y2cos x(0x2)的图象和直线y2 围成一个封闭的平面图形，则这个封闭 图形的面积是( ) A.4 B.8 C.2 D.4 答案 D 解析 作出函数y2cos x，x0，2的图象，函数y2cos x，x0，2的图象与 直线y2 围成的平面图形为如图所示的阴影部分. 利用图象的对称性可知，该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又OA2，OC2， S阴影部分S矩形OABC224. 二、填空题 8.函数f(x)lg cos x的定义域为 . 25x2 答案 5， 3 2 ) ( 2 ，
