《2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式导学案新人教A版必修4_》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式导学案新人教A版必修4_（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.33.1.3 二倍角的正弦、余弦、正二倍角的正弦、余弦、正 切公式切公式 学习目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用. 知识点一 二倍角公式的推导 思考 1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用的三角函数表示 2的三角函数的公式. 根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正 切公式吗？ 答案 sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ； cos 2cos()cos cos sin sin cos2sin2； tan
2、 2tan(). 2tan 1tan2 思考 2 根据同角三角函数的基本关系式 sin2cos21，你能否只用 sin 或 cos 表示 cos 2？ 答案 cos 2cos2sin2cos2(1cos2)2cos21； 或 cos 2cos2sin2(1sin2)sin212sin2. 知识点二 二倍角公式的变形 1.公式的逆用 2sin cos sin 2，sin cos sin 2， 1 2 cos2sin2cos 2，tan 2. 2tan 1tan2 2.二倍角公式的重要变形升幂公式和降幂公式 升幂公式 1cos 22cos2，1cos 22sin2， 1cos 2cos2，1cos
3、 2sin2 . 2 2 降幂公式 cos2，sin2. 1cos 2 2 1cos 2 2 类型一 给角求值 例 1 求下列各式的值： (1)cos 72cos 36；(2) cos215； 1 3 2 3 (3)；(4). 1tan275 tan 75 1 sin 10 3 cos 10 解 (1)cos 36cos 72 2sin 36cos 36cos 72 2sin 36 . 2sin 72cos 72 4sin 36 sin 144 4sin 36 1 4 (2) cos215 (2cos2151) cos 30. 1 3 2 3 1 3 1 3 3 6 (3)222. 1tan2
4、75 tan 75 1tan275 2tan 75 1 tan 1503 (4) 1 sin 10 3 cos 10 cos 10 3sin 10 sin 10cos 10 2(1 2cos 10 3 2 sin 10) sin 10cos 10 4sin 30cos 10cos 30sin 10 2sin 10 cos 10 4. 4sin 20 sin 20 反思与感悟 对于给角求值问题，一般有两类： (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行 转化，一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解
5、过程 中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公 式的形式. 跟踪训练 1 求下列各式的值： (1)cos cos cos ； 2 7 4 7 6 7 (2). 1 sin 50 3 cos 50 解 (1)原式 2sin 2 7 cos 2 7 cos 4 7 cos 6 7 2sin 2 7 sin 4 7 cos 4 7 cos 6 7 2sin 2 7 sin 8 7 cos 6 7 4sin 2 7 . sin 7 cos 7 4sin 2 7 sin 2 7 8sin 2 7 1 8 (2)原式 4. cos 50 3sin 50 sin 50
6、cos 50 2 1 2cos 50 3 2 sin 50 1 2 2sin 50cos 50 2sin 80 1 2sin 100 2sin 80 1 2sin 80 类型二 给值求值 例 2 (1)若 sin cos ，则 sin 2 . 1 3 答案 8 9 解析 (sin cos )2sin2cos22sin cos 1sin 2 2sin 212 . ( 1 3) ( 1 3) 8 9 (2)若 tan ，则 cos22sin 2等于( ) 3 4 A. B. 64 25 48 25 C.1 D. 16 25 答案 A 解析 cos22sin 2. cos24sin cos cos2
7、sin2 14tan 1tan2 把 tan 代入，得 3 4 cos22sin 2. 14 3 4 1(3 4)2 4 25 16 64 25 故选 A. 引申探究 在本例(1)中，若改为 sin cos ，求 sin 2. 1 3 解 由题意，得(sin cos )2 ， 1 9 12sin cos ， 1 9 即 1sin 2 ， 1 9 sin 2 . 8 9 反思与感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径：对题设条件变形，把条件中的角、函 数名向结论中的角、函数名靠拢；对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、 函数名靠拢，以便将题设条件代入结论. (2)一个重要结论：(si
8、n cos )21sin 2. 跟踪训练 2 已知 tan 2. (1)求 tan的值； ( 4) (2)求的值. sin 2 sin2sin cos cos 21 解 (1)tan3. ( 4) tan tan 4 1tan tan 4 21 12 1 (2) sin 2 sin2sin cos cos 21 2sin cos sin2sin cos 2cos2 1. 2tan tan2tan 2 2 2 422 类型三 利用倍角公式化简 例 3 化简. 2cos21 2tan( 4 )sin2( 4 ) 解 方法一 原式 2cos21 2 sin( 4 ) cos( 4 ) sin2( 4
9、 ) 2cos21 2 sin( 4 ) cos( 4 ) cos2( 4 ) 2cos21 sin( 2 2) 1. cos 2 cos 2 方法二 原式 cos 2 21tan 1tan ( 2 2 sin 2 2 cos )2 cos 2 cos sin cos sin sin cos 2 1. cos 2 cos sin cos sin cos 2 cos2sin2 反思与感悟 (1)对于三角函数式的化简有下面的要求： 能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使三角函数式中的项数尽量少；尽 量使分母不含有三角函数；尽量使被开方数不含三角函数. (2)化简的方法： 弦切互化，异名化同名
10、，异角化同角. 降幂或升幂. 一个重要结论：(sin cos )21sin 2. 跟踪训练 3 化简下列各式： (1)，则 ； 4 21sin 2 (2)为第三象限角，则 . 1cos 2 cos 1cos 2 sin 答案 (1)sin cos (2)0 解析 (1)(，)，sin cos ， 4 2 1sin 212sin cos sin22sin cos cos2 sin cos . sin cos 2 (2)为第三象限角，cos 0，sin 0， 1cos 2 cos 1cos 2 sin 2cos2 cos 2sin2 sin 0. 2cos cos 2sin sin 1. sin
11、cos 的值等于( ) 1 2 12 12 A. B. 1 4 1 8 C. D. 1 16 1 2 答案 B 解析 原式 sin . 1 4 6 1 8 2.sin4cos4等于( ) 12 12 A. B. C. D. 1 2 3 2 1 2 3 2 答案 B 解析 原式 (sin2 12cos2 12) (sin2 12cos2 12) cos . (cos2 12sin2 12) 6 3 2 3. . tan 7.5 1tan27.5 答案 1 3 2 解析 tan 7.5 1tan27.5 1 2 2tan 7.5 1tan27.5 tan 151. 1 2 3 2 4.设 sin
12、2sin ，则 tan 2的值是 . ( 2 ，) 答案 3 解析 sin 2sin ， sin (2cos 1)0， 又， ( 2 ，) sin 0，2cos 10 即 cos ， 1 2 sin ，tan ， 3 23 tan 2. 2tan 1tan2 2 3 1 323 5.已知 sin，00， cos 0，且|cos |sin |， cos 2cos2sin20， cos 2 1sin22 ，故选 A. 1(2 3)2 14 9 5 3 7.若 cos ，则 sin 2等于( ) ( 4 ) 3 5 A. B. 7 25 1 5 C. D. 1 5 7 25 答案 D 解析 因为 s
13、in 2cos( 2 2) 2cos21， ( 4 ) 又因为 cos ， ( 4 ) 3 5 所以 sin 221，故选 D. 9 25 7 25 二、填空题 8.2sin222.51 . 答案 2 2 解析 原式cos 45. 2 2 9.sin 6sin 42sin 66sin 78 . 答案 1 16 解析 原式sin 6cos 48cos 24cos 12 sin 6cos 6cos 12cos 24cos 48 cos 6 . sin 96 16cos 6 cos 6 16cos 6 1 16 10.设是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且 cos x，则 tan 2 . 1 5 答案 24 7 解析 cos ， x x242 x 5 x29，x3. 又是第二象限角，x3， cos ，sin ， 3 5 4 5 tan ，tan 2 4 3 2 4 3 14 3 2 8 3 116 9 8 3 7 9 . 72 21 24 7 11.已知 tan x2，则 tan 2(x) . 4 答案 3 4 1
