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1、从一类函数方程的微分解法到初等函数的公理化定义 常微分方程学习心得一则宿州学院数学系 化劼 234000摘要：本文从常微分方程的一道课后习题出发联系学习中学数学时的一串疑惑，从最基本的导数定义入手建立简单微分方程，综合运用数学分析中的方法解释疑惑，并加强了可课本习题结论。最终使用公理化方法定义了初等指数函数。关键字：函数方程 常微分方程 洛必达法则 归结原则 中学时代常遇到一类“抽象函数”题目：一般都是先给出函数定义域和某个特殊函数值，再结合对应法则给一个函数方程，如（或者是等），让你研究函数的单调性、奇偶性，并借助这些性质解决一些问题。当时我们在做这类题目时总有这样一个经验：把具体初等函数性
2、质与抽象函数方程类比。比如遇到就将它与类比，遇到就将它与类比。以具体函数的性质为模型，指导抽象函数的论证，很快就能把题目解决。当做完题目之余，笔者总有这样一串疑惑：仅由能不能断定，如果能，为什么？如果不能，再加上什么样的约束条件就能断定？其他函数方程与具体函数之间的判定关系又如何呢？当时虽未能解决这些问题，但这串疑问一直留在心，直到最近系统学习常微分方程，接触到一个课后习题后，又勾起了笔者对这串疑惑的思考。习题：设函数于上连续，存在且满足关系式 求此函数。我的解法：令马上得出再令，由在上连续，得，所以，又存在，故，到此很容易解出： 如法炮制，我将以前遇到的抽象函数方程都解了出来，首先我们规定函
3、数的定义域上连续，再令马上得出，进一步规定在原点可微，马上就有，建立微分方程，结合初值条件很容易解出。篇幅所限在此就不将其他方程求解过程给出了。现将所解方程及对应限制条件列简表如下函数方程限制条件连续模型函数1.1.定义域为2.在上连续3.在原点处可微1. 定义域为2. 在上连续3. 在原点处可微1. 定义域为2. 在上连续3. 在处可微问题到此似乎已圆满解决，但我还是有些耿耿于怀。感觉（以列表模型1为例）在处可微这个限制条件还是太“苛刻”。要是仅给出函数方程，定义域以及定义域上的连续性，就能确定这个初等函数那该多漂亮啊！仔细审视模型的求解过程：关键在对的处理上套用了洛必达法则，而洛必达法则使
4、用的前提就是存在，这无形中就加强了限制条件，能不能绕过洛必达法则呢？通过深入的思考，终于找到一条出路。我们首先来证明一个简单引理：引理：若 有证明：当时，由条件知引理成立 假设时引理成立，当时： 故引理成立推论：若证明：在引理中令马上得到此推论再看模型1： 使用归结原则的目地正是在于把连续型极限离散化，而离散条件下的性质是容易由函数方程证明得到，这就为进一步求离散条件下的极限创造了有利的条件。此时解出，这时的已不再需要在处可微了。 再回头来看教材上那道习题： （*）令，得，若使得，则 而，此时对（*）式两边取对数得： 令，因连续故必也在连续，所以满足模型1 故 即：，可见习题中存在这个条件是多
5、余的！ 至此，以模型1为突破口，文首的一串疑惑已经“豁然开朗”。联想高等代中众多的“公理化定义”和以上对课本习题的分析，考虑用公理化的方法来重新定义指数函数：定义：若满足：.则称为定义在上的对数函数我们还可以用同样的方法来定义对数函数，在此就不再熬述了。结束语 已故著名的中学数学特级教师孙维刚先生每被问及如何教数学时，总是回答十六个字“八方联系，浑然一体，漫江碧透，鱼翔浅底”。其实这不仅是他教数学的经验，也是一代名师自己学习数学的体会，更应当成为我们学习数学知识，对待数学问题的指导思想。在这个问题研究中笔者体会到了这十六个字的深刻含义，更重要的是在提出问题、分析问题、解决问题的过程中逐渐感受到数学探索的乐趣，欣赏到数学的美。附：特别感谢我系李耀红老师在繁重的教学、班务工作之余多次耐心的听取笔者对本文相关问题的认识与讨论，并给出了许多有指导意义的意见。参考文献：1王高雄，周之铭等常微分方程（第二版） 高等教育出版社2华东师范大学数学系数学分析（第三版）（上） 高等教育出版社
