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1、带电粒子在磁场中运动的多解问题山东省郓城第一中学： 胡忠启 邮编：274700 带电粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的问题一般有多解。形成多解的原因有： 1. 带电粒子电性不确定 受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中的运动轨迹不同，导致形成双解。 例1. 如图1所示，第一象限范围内有垂直于平面的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m，电量大小为q的带电粒子在平面里经原点O射入磁场中，初速度与x轴夹角，试分析计算：图1（1）带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？ （2）带电粒子在磁场中运动时间多长？图2 分析：若带电粒子带负
2、电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为，粒子向x轴偏转，并从A点离开磁场。若带电粒子带正电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为，粒子向轴偏转，并从B点离开磁场。不论粒子带何种电荷，其运动轨道半径均为。如图2，有 带电粒子沿半径为R的圆运动一周所用的时间为 （1）若粒子带负电，它将从x轴上A点离开磁场，运动方向发生的偏转角。A点与O点相距： 若粒子带正电，它将从轴上B点离开磁场，运动方向发生的偏转角，B点与O点相距： （2）若粒子带负电，它从O到A所用的时间为 若粒子带正电，它从O到B所用的时间为 2. 磁场方向不确定 磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大小，而未指出其方向，此时要考虑磁感
3、应强度方向不确定而形成多解。 例2. 一质量为m，电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（ ） A. B. C. D. 分析：依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛仑兹力的方向也是相反的。 当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知 ，得 此种情况下，负电荷运动的角速度为 当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相反时，有 ，
4、得 此种情况下，负电荷运动的角速度为 应选A、C。 3. 临界状态不惟一 带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此穿越磁场的轨迹可能有多种情况。图3 例3. 如图3甲所示，A、B为一对平行板，板长为，两板距离为，板间区域内充满着匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，一个质量为m，带电量为的带电粒子以初速，从A、B两板的中间，沿垂直于磁感线的方向射入磁场。求在什么范围内，粒子能从磁场内射出？ 分析：粒子射入磁场后受到洛仑兹力的作用，将做匀速圆周运动，圆周运动的圆心在入射点的正上方。要想使粒子能射出磁场区，半径r必须小于（粒子将在磁场中转半个圆周后从左方射出
5、）或大于某个数值（粒子将在磁场中运动一段圆弧后从右方射出）。图3乙画出了两种临界情况的轨迹示意图。 当粒子从左边射出时，若运动轨迹半径最大，则其圆心为图中点，半径。因此粒子从左边射出必须满足。 由于 ， 所以 ， 即 当粒子从右边射出时，若运动轨迹半径最小，则其圆心为图中点，半径为。由几何关系可得 因此粒子从右边射出必须满足的条件是 ，即 所以当或时，粒子可以从磁场内射出。 4. 运动的重复性 带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时，运动往往具有重复性，因而形成多解。 例4. 如图4所示，在x轴上方有一匀强电场，场强为E，方向竖直向下。在x轴下方有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。在x轴上有一点P，离原点的距离为a。现有一带电量+q的粒子，质量为m，从静止开始释放，要使粒子能经过P点，其初始坐标应满足什么条件？（重力作用忽略不计） 分析：要使粒子能经过P点，其初始位置必须在匀强电场区域里。由于没有明确粒子所在位置，讨论如下：图4 （1）若粒子从y轴上由静止释放，在电场加速下进入磁场做半径为R的匀速圆周运动。由于粒子可能偏转一个、二个半圆到达P点， 故 设释放处距O的距离为，则有 由、式有 （2）若粒子在电场中的起点坐标为（），依题意，有 当，粒子不可能经过P点； 当，不论取值如何，粒子均能经过P点； 当，则 ， 同理可得。
