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1、第6章 微分方程6.1微分方程的基本概念微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程。微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。微分方程的通解：如果微分方程的解这中含有任意常数，且任意个不相关的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。微分方程的特解：在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解，称为特解。初始条件：用于确定通解中的任意常数而得到特解的条件称为初始条件。积分曲线：微分方程的特解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。6.2一阶微分方程的求解方法6.2.1 分离变量法可分离变量的微分方程：形如 的微分方程，称为可分离变量的
2、微分方程。特点：等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个是只含有的函数，另一个是只含有的函数解法：当时，把分离变量为对上式两边积分，得通解为 （这里我们把积分常数明确写出来，而把，分别理解为和的一个确定的原函数。）6.2.2 齐次方程和可化为齐次方程的一阶方程不考。6.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程：如果一阶微分方程可以写为则称之为一阶线性微分方程，其中、为连续函数当时，此方程为，称它为对应于非齐次线性方程的齐次线性微分方程；当时，称为非齐次线性微分方程。解法：用常数变易法可得其通解为：（注：其中每个积分，不再加任意常数C。）6.4 可降阶的二阶微分方程6.4.1 不显含未知函数y的
3、二阶方程：解法：令，则，方程变为，解之得,再积分得，即得通解。6.4.2 不显含自变量x的二阶方程:解法：令，则，方程变为，解之得,再积分得通解。6.5 二阶线性微分方程6.5.1 二阶线性微分方程的解的结构二阶线性微分方程：形如 的方程,称为二阶线性微分方程。若，称之为二阶齐次线性微分方程；若，称之为二阶非齐次线性微分方程。齐次线性方程解的叠加原理：如果函数,是齐次方程的两个解,则也是方程的解,其中,均为任意常数。齐次线性方程的通解结构：如果函数,是齐次方程的两个线性无关解,则函数 (,为任意常数)是方程的通解。非齐次线性方程的通解结构：如果是方程的一个特解，是方程的通解,则 是方程的通解。
4、线性微分方程的解的叠加原理：若，分别是方程，的特解，则是方程的特解。6.5.2 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程：，其中，是常数。特征方程与特征根：根据，可得。只要的值能使式成立。那么就是的解，称为的特征方程，称的根为方程特征根。二阶常系数齐次线性微分方程的通解：特征方程的两个特征根 微分方程的通解6.5.3 二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程：形如 （其中p,q均为常数,）的方程,称为二阶常系数非齐次线性微分方程。二阶常系数非齐次线性微分方程的通解：的通解应该为，Y为对应齐次线性方程：的通解，为的一个特解。二阶常系数非齐次线性微分方程的特解：的两种形式是：1. = ,是常数。是x的一个m次多项式： = 。具有如下形式的特解： 的特解，其中 是与同次的多项式。 2. = ，其中：是常数。分别是次、n次多项式，其中有一个可为零。具有如下形式的特解：其中：，是m次多项式,m=maxn,k
