第19章节量子力学基础课件

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1、19.3 波函数 薛定谔方程,19.4 两个简单定态问题的主要结论,19.7 原子的壳层结构,19.8 激光基本原理（自学）,第19章 量子力学基础,19.1 实物粒子的波粒二象性,19.2 不确定关系,19.5 量子力学对氢原子的应用,19.6 斯特恩-盖拉赫实验 电子自旋,光有波粒二象性,1. 德布罗意假设,与粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波,实物粒子具有波动性,实物粒子具有波动性。并且：,19.1 实物粒子的波粒二象性,一. 实物粒子的波粒二象性,实物粒子：静止质量不为零的粒子。,2物质波的实验验证,电子通过金多晶薄膜的衍射实验（汤姆逊1927）,电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验

2、（约恩逊1961), 戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子束 被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释， 从而验证了物质波的存在。,例 计算电子通过100V和10000V加速电压后的德布罗意波长,考虑相对论效应：,例 m=0.01kg，v=300m/s的子弹的德布罗意波长,h极其微小，宏观物体的波长小得实验难以测量， 宏观物体只表现出“粒子性”,粒子性与波动性是如何相联系的？如何理解德布罗意物质波的物理意义?,设想二：粒子是基本的，波是大量粒子分布密度的变化,波动性是由于有大量粒子分布于空间而形成的疏密波。这种看法也与实验相矛盾。,波包在媒质中会逐渐扩展而消失，粒子不

3、会；波在媒质分界面上会分为反射和折射两部分，而粒子是不可分的. 这样设想的波与其粒子性是矛盾的.物质波包的观点显然夸大了波动性一面,而实际上抹杀了粒子性的一面,是片面的。,1. 波动-粒子两象性矛盾,受经典概念的影响:,设想一：波是基本的，粒子是许多波组合起来的 波包,事实说明，在经典概念下，粒子与波是难以统一到同 一个客体上去的。,二. 德布罗意波的统计解释,（1926年）M.Born提出物质波描述了粒子在各处被发现的概率,也就是说对单个电子而言，在明纹处出现的概率大，在暗纹处出现的概率小,明暗条纹的形成说明一定条件下概率分布有确定规律的, 实验所观测到的物质波波动条纹体现着粒子在各处被发现

4、的概率。,明纹(波强大)-电子数目多, 暗纹(波强小)-电子数目少,在电子双缝衍射实验中,单个电子出现在何处是随机的,即德布罗意波是概率波,2. 物质波的统计解释概率波,由于波动性在任一时刻粒子不再具有确定的位置,与此相联系在任一时刻粒子不再具有确定的动量.,或者说,在任一时刻粒子的位置和动量都有一个不确定量.,从逻辑上看, “粒子性”与“具有确定的轨道”并没有必然联系.,从实际程度上看,粒子的位置和动量的不确定性 对宏观物体而言完全可以忽略不计.,一. 引言,19.2 不确定关系,二. 不确定关系的简单推导,又:,忽略次极大，可认为电子都落在中央亮纹内，,则：,一级暗纹处：,考虑次极大后，可

5、得：,由(1),(2)得:,一束动量为 的电子通过宽为 的单缝后发生衍射而在屏上形成衍射条纹。,对单个电子，通过狭缝时， 方向的位置不确定量 为 , 方向有了动量 ， 方向的动量不确定量为,则：,更一般的理论给出:,同理有:,这三个公式就是位置坐标和动量的不确定关系。,能量与时间的不确定性关系,上面三个公式就可写成:,三. 不确定关系的几点说明,物理根源是粒子的波粒二象性,粒子的波动性使得粒子在任一时刻不具有确定的位置，也不具有确定的动量。,若可认为 ，则,不确定关系告诉我们，在表明或测量粒子的位置和动量时，它们的精度存在着一个终极的不可逾越的限制,速度的不确定量,轨道概念不适用!,四. 用不

6、确定性关系作数量级估算,例 原子的线度为 ，求原子中电子速度的不确定量。,解：电子的位置不确定量,VV,例 氦氖激光器所发红光波长为=6328 ，谱线宽度=10-8 ，求当这种光子沿x方向传播时，它的x坐标的不确定量。,解：光子具有波粒二象性，满足不确定关系,一. 波函数及其物理意义,用波函数完全描述量子状态是量子力学的基本假设之一,波函数模的平方 代表时刻 ，在 处 粒子出现的概率密度。,时刻 粒子出现在 附近 体积内的概率为：,在量子力学中，轨道的概念不再存在。,波函数 因此就称为概率幅。,19.3 波函数 薛定谔方程,波函数必须满足以下几个条件：,单值、连续、有限,若一个未归一化的波函数

7、 ，其归一化的形式为 ，它们描述同一个微观状态，则归一化系数：,粒子出现在全空间的概率应为1,即:,波函数叠加原理(态叠加原理),一般表述为: 若体系具有一系列互异的可能状态 则 也是可能的状态。,二. 薛定谔方程,1. 一维含时薛定谔方程,其中 是粒子（质量为 ）在势场 中运动的波函数。,解此方程超出本课程的范围。,2. 一维定态薛定谔方程,在恒定势场 中，上述薛定谔方程化为：,此方程称为一维定态薛定谔方程。,三维直角坐标系下定态薛定谔方程为：,球坐标系下定态薛定谔方程为：,实际中，应根据具体情况，选取适合的坐标系求解薛定谔方程。,标准条件：单值、有限和连续。,3.对波函数的要求,一维无限深

8、势阱,1.势函数,阱外：,一. 一维无限深势阱中的粒子,令,阱内：,19.4 两个简单定态问题的主要结论,.分区求通解,4.由波函数标准条件(单值、有限和连续)定特解,阱外：,阱内：,A和 是待定常数,(1)能量,得,能量量子化,能量取分立值,最低能量(零点能),量子数,能级,基态,(2)波函数,由归一化条件,(3)概率密度,阱内波函数:,概率密度:,能级：,波长也量 子化了,二. 线性谐振子运动,自学,一. 氢原子的薛定谔方程及其解,有确定量子数 , , 的 电子状态的定态波函数记作:,球坐标系下定态薛定谔方程为：,氢原子,有：,19.5 量子力学对氢原子的应用,1. 氢原子能量量子化,与玻

9、尔理论给出的能级一致。,主量子数,玻尔半径,则：,二. 方程解的物理意义,同一能级上，电子绕核运动的状态可以不同,对于一定的n 值，l 有n 个可能的取值,2. (轨道)角动量量子化,3.(轨道)角动量空间取向量子化,磁量子数,对于确定的角量子数l , 可取(2l+1)个值,有确定量子数 , , 的电子状态的定态波函数记作:,例 对于基态,其波函数为:,概率密度分布为:,4. 波函数及电子在核外空间分布的概率,氢原子基态的电子云,轨道概念不再存在！,则电子出现在体积 内的概率为：,概率密度,电子径向概率密度电子在r - r+dr 球层内出现的概率,l 、ml值不同表明电子角向概率分布是不同的。

10、,值不同表明电子径向概率分布是不同的。,例如基态：,对上式求导可得 的最大值出现 在 处，与玻尔轨道半径大小一致,轨道概念不再存在！电子不会在固定的轨道上运动。化学上仍然沿用“离子半径” 的概念，其实是说在距核为R处的球壳内，电子出现的概率大。,一般有：主量子数为 ， 轨道量子数 的状态，其电 子的径向概率密度分布只有一个极大值，出现在 处。,径向概率密度,例 对于n=2的状态(对H原子,即第一激发态),三. 量子力学对氢原子光谱的理论解释,这一部分内容很好理解，希望大家自学.,量子力学对氢原子光谱的理论和玻尔理论以及实验结果都符合得很好。,19.6 斯特恩-盖拉赫实验 电子自旋,由前面所学的

11、量子力学内容，我们知道，原子轨道角动量空间取向是量子化的。其实，在量子力学的完备理论建立之前，斯特恩和盖拉赫已在实验中发现，原子磁矩在外磁场中的取向是量子化的。,一. 斯特恩-盖拉赫实验,平面载流线圈的磁矩,即：,原子的轨道磁矩 电子绕原子核的运动,磁量子数,由量子力学，轨道角动量 的大小为：,在磁场 方向的投影为：,又,其中， 称为玻尔磁子。,即磁矩在空间有 个取向。,磁矩为 的原子在磁场 中的势能为：,若磁场在z方向不均匀(即 ) ，则原子体 系会受到一个z方向的力：,N,S,原子束,原子源,狭缝,z,经典情形,斯特恩-盖拉赫实验,原子束经过磁场后受 力，发生偏转。,导致：原子束经过磁场

12、后呈现带状沉积现象。,可取 个值,即给定一个l, 屏上应 有 沉积带。,但是，用基态的Li、Na、K等的原子 作此实验时，测得沉积带的数目为2， 即：,但l只能取整数. 理论与实验结果相矛盾,电子自旋,原子中的电子不但具有轨道角动量还应具有自旋角动量,而且 是量子化的.自旋角量子数用s表示. 和轨道角量子数不同,s只能 取1/2一值.,称为自旋磁量子数,在外场中的指向有 个,则自旋角动量,电子的自旋在空间某一方向的投影为:,则:,自旋角量子数,二. 电子自旋角动量,一. 原子核外电子电子运动状态的描述,电子运动状态由四个量子数决定（ n,l,ml ,ms ）,主量子数n n=1,2,3,轨道量

13、子数l l=0,1,2,(n-1),轨道磁量子数ml ml=0,1, 2, l,自旋磁量子数ms ms=1/2,决定原子中电子的能量,决定电子绕核运动角动量大小，n 相同，l 不同，能量有差异 (电子的能量主要由n,较小程度上由l,所决定),决定电子绕核运动角动量在外磁场中的指向，影响电子在外磁场中的能量,决定电子自旋角动量在外磁场中的指向，也会影响电子在外磁场中的能量,19.7 原子的壳层结构,n 给定，l 的可能值为0、1、2、n-1，共n个；,l 给定，ml 的可能值为0、1、 l，共( 2l+1)个；,ml 给定，ms的可能值为 1/2，共2个；,能级n 上最多容纳的电子数目(或状态数

14、)为,n=1,n=2,例,1.泡利不相容原理,不能有两个电子具有相同的n,l,ml ,ms,即同一原子中，不能有两个电子处于同一状态(量子状态)。,2. 能量最低原理,原子处于正常状态时，每个电子趋向于占据最低能级。,二. 原子核外电子分布遵循的两个基本原理,三.原子的壳层结构,四.原子核外电子排布顺序与元素周期表,元素周期表见课本,19.8 激光基本原理,不考 自学,光(波)具有粒子性,与粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波,实物粒子具有波动性,小结： 波粒二相性,光子与实物粒子的波粒二相性比较,实物粒子的非相对论动能：,实物粒子的相对论动能：,二者的关系,故,因,略去高阶小量，则：,（A）

15、当n、l、 取一定值时量子状态数为2,（B） 当n、l 取值一定时，量子状态数为2（2l1）,（C） 当n一定时，量子状态数是,（D）当n、l、 一定时，量子状态数为1,答： A、B、C、D,例 有关氢原子电子的量子状态数的说法,例 根据量子力学理论，氢原子中电子的动量矩为 当主量子数 n =3 时，电子动量矩的可能取值为,解：n=3时，l 的可能取值为0、1、2,解：,其轨道角动量与外磁场方向（z方向）的夹角的允许值分别为：,例 根据空间量子化条件，给出角量子数l =1时，其轨道角动量与外磁场方向（z方向）的夹角的允许值。,z方向,例 根据泡利不相容原理，在主量子数 n = 2 的电子壳层上，最多可能有多少个电子？试写出每个电子所具有的四个量子数n、l、 值。,它们是：,例 试求一维无限深势阱中粒子处在 和 两种状态下，粒子出现在x=0到x= 区间的几率，什么情况下可以近似认为粒子在各处出