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1、第第四四章章 课后课后习题解答习题解答 桂林理工大学桂林理工大学 理学院理学院 胡光辉胡光辉 （ 大学物理上册主编：肖剑荣 梁业广 陈鼎汉 李明） 4-1 电荷为q 和2q 的两个点电荷分别置于 x1 m 和 x1 m 处一试验电荷置于 x 轴上 何处，它受到的合力等于零？ 解：设试验电荷置于 x 处所受合力为零，根据电力叠加原理可得 即：。因点处于 q、2q 两点电荷之间，该处场强不 可能为零故舍去得 m 4-2 一个细玻璃棒被弯成半径为 R 的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q，沿其下半部分 均匀分布有电荷Q，如图所示试求圆心 O 处的电场强度 解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在q
2、处取微小电荷 dq = ldl = 2Qdq/p 它在 O 处产生场强 按 q 角变化，将 dE 分解成二个分量： 对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷 0 0 q ()()()() 00 2222 0000 ( 2 )( 2 ) 00 41414141 q qqqqq ii xxxxeeee - +=+= p-p+p-p+ 2 610(32 2)xxxm-+ =23-=x ()223+=x +Q ?Q R O x y q ee d 24 d d 2 0 22 0 R Q R q E p = p = qq e qdsin 2 sindd 2 0 2 R Q EEx p = qq e qd
3、cos 2 cosdd 2 0 2 R Q EEy p -=-= - p = p p p qqqq e 2/ 2/ 0 2 0 2 dsindsin 2R Q Ex dq R O x y q dq q 所以 4-3 如图所示，一电荷线密度为的无限长带电直导线垂直纸面通过 A 点；附近有一电量为 的均匀带电球体，其球心位于 O 点。是边长为的等边三角形。已知处场强方向垂直 于，求:和间的关系。 解：如图建立坐标系。根据题意可知 4-4 如图所示,一均匀带电直导线长为，电荷线密度为。过导线中点 O 作一半径为 （）的球面，P 为带电直导线的延长线与球面的交点。求： （1） 、通过该球面的电场强度通
4、量。 （2） 、P 处电场强度的大小和方向。 解： （1）利用静电场的高斯定理即可得：。 （2）如图建立一维坐标系，坐标原点与圆心重合。在带电导线上坐标为处取长度为的带 电元，其所带电荷量为，在 p 点产生的电场强度为： 2 0 2 2/ 2/ 0 2 0 2 dcosdcos 2R Q R Q Ey e qqqq e p p p p -= - p - = j R Q jEiEE yx ! 2 0 2e p - =+= l Q AOPD a P OPl Q 0 2 00 0cos600 42 x Q E aa l pepe =+= Qal= - dl+R 2dR SS E F int 00 E
5、 qdl ee F = x dx dqdxl=dq 则 p 点的电场强度为 4-5 如图所示，虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为：Exbx，Ey0, Ez 0。高斯面边长 a0.1 m，常量 b1000 N/(Cm)试求该闭合面中包含的净电荷(真空介电 常数8.8510-12 C2N-1m-2 ) 解：设闭合面内包含净电荷为 Q因场强只有 x 分量不为零，故只是二个垂直于 x 轴的平面上 电场强度通量不为零由高斯定理得： 则： 4-6 如图所示，有一带电球壳，内、外半径分别为、 ，电荷体密度为，在球心处有 一点电荷。证明：当时，球壳区域内电场强度的大小与半径 无关。 证：用高斯定
6、理求球壳内场强： ,而 22 00 4()4() dqdx dEii RxRx l pepe = - 22 222 22 00 4()(4) dd dd dxd EdEii RxRd ll pepe - = - ! 0 e 112212 0 ,() Q E SE SSSS e -+= 2 0210210 312 0 ()()(2) 8.85 10 QS EESb xxa baa a bC eee e - =-=-=- = a brA=r Q )2( 2 aQAp= E ! r a b Q r r () 0 2 /d4der +=p= VS VQrESE ! p=p= rr av rrArr r
7、 A V 0 2 d4d4dr() 22 2arA-p= r Q a b r 要使的大小与 r 无关，则应有 ： ， 即 4-7 一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体挖去半径为 r 的一个小球体,球心为,两球心间距离,如题图 9.11 所示。 求： (1) 在球形空腔内,球心处的电场强度； (2) 在球体内 P 点处的电场强度。设、O、P 三点在同一直径上，且。 解：挖去电荷体密度为?的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场，而 另在挖去处放上电荷体密度为?的同样大小的球体， 求出电场， 并令任意点的场强为此二 者的矢量叠加，即： 在图(a)中，以
8、O 点为球心，d 为半径作球面为高斯面 S，则可求出 O与 P 处场强的大小。 得： 方向分别如图所示。 在图(b)中，以 O点为小球体的球心，可知在 O点 E2=0. 又以 O 为心，2d 为半径作球面为高 斯面 S 可求得 P 点场强 E2P （1）求 O点的场强 . 由图(a)、(b)可得 EO = E1O =， 方向如图(c)所示. () 22 2 0 2 0 2 4 1 4 arA rr Q E-p p + p = ee 2 0 2 0 2 0 224r AaA r Q E eee -+ p = E ! 0 24 2 0 2 2 0 =- pr Aa r Q ee 2 2 a Q A
9、 p = r O dOO= O 0 E ! E ! O dOP = 1 E ! 2 E ! 210 EEE ! += 23 11 0 14 4 3 EdsEddr e p = p= ! ! 111 0 3 OP EEEd r e = () 23 220 4 (2 )4()/ 3 s EdsEdrre = p= p- ! ! 2 0 3 2 12d r E P e r- = O E ! 0 3e rd （2）求 P 点的场强.由图(a)、(b)可得 方向如(d)图所示. 4-8 如图所示，两个点电荷q 和3q，相距为 d. 试求： (1) 在它们的连线上电场强度的点与电荷为q 的点电荷相距多远？
10、 (2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势 U=0 的点与电荷为q 的点电荷相距多远？ 解：设点电荷 q 所在处为坐标原点 O，x 轴沿两点电荷的连线 (1) 设的点的坐标为，则 ? 解出： 另有一解不符合题意，舍去 (2) 设坐标 x 处 U0，则 得： 4-9 一均匀静电场，电场强度，空间有两点和， （以米 P E ! -=+= 2 3 0 21 43d r dEEE PPP e r 0=E ! 0=E ! x () 0 4 3 4 2 0 2 0 = -p - p =i dx q i x q E ! ee 022 22 =-+dxdx ()dx31 2 1 +-=()dx13 2
11、1 2 -= ()xd q x q U -p - p = 00 4 3 4ee() 0 4 4 0 = - - p = xdx xdq e4 d x = 1 )600400 - +=mVjiE ! （ )2 , 3(a)0 , 1 (b yx, 计） 。求两点之间的电势差。 解：空间某点的位矢表示为，则 4-10 如图所示， 为一沿 x 轴放置的长度为 l 的不均匀带电细棒， 其电荷线密度为， 为一常量取无穷远处为电势零点，求坐标原点 O 处的电势 解：在任意位置 x 处取长度元 dx，其上带有电荷 dq=?0 (xa)dx 。 它在 O 点产生的电势 O 点总电势： 4-11 如图所示，电荷
12、 q 均匀分布在长为 2l 的细杆上。求 （1） 、在杆外延长线上与杆端距离为 a 的 P 点的电势(设无穷远处为电势零点)。 （2） 、杆的中垂线上与杆中心距离为 a 的 P 点的电势。(设无穷远处为电势零点) 解： （1）设坐标原点位于杆中心 O 点，x 轴沿杆的方向，如图所示 细杆的电荷线密度?q / (2l)，在 x 处取电荷元 dq = ldxqdx / (2l)，它在 P 点产生的电势为 整个杆上电荷在 P 点产生的电势： ba, ab U rxiyj=+ ! (400600 ) () bb abab aa UVVE drijidxjdy=-=+ ! ! 10 32 (400600
13、)4006002000( ) b a dxdydxdyV=+=+= - ）（ax-= 0 lr 0 l () x xax U 0 0 4 d d e l p - = - p = +la a la a x x axdUU d d 4 0 0 e l + - p = a la alln 4 0 0 e l x P a O 2l xdx ()()xall xq xal q UP -+p = -+p = 00 8 d 4 d d ee （2）设坐标原点位于杆中心 O 点，x 轴沿杆的方向，如图所示. 杆的电荷线密度lq / (2l)在 x 处取电荷元 dqdq = ldx = qdx / (2l) 它
14、在 P 点产生的电势 整个杆上电荷产生的电势： 4-12 两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为 R10.03 m 和 R20.10 m已知 两者的电势差为 450 V，求内球面上所带的电荷 解：设内球上所带电荷为 Q，则两球间的电场强度的大小为 (R1rR2） 两球的电势差： 2.1410-9 C 4-13 电荷以相同的面密度s 分布在半径为 r110 cm 和 r220 cm 的两个同心球面上设无限 远处电势为零，球心处的电势为 U0300 V 8.8510-12 C2 /(Nm2) (1) 求电荷面密度 (2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？ 解：(1) 球
15、心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即 () - -+p = l l P xal x l q U d 8 0 e () l l xal l q - -+ p - =ln 8 0 e + p = a l l q2 1ln 8 0 e a x O 2l x dx P 22 0 22 0 8 d 4 d d xal xq xa q UP +p = +p = ee - + p = l l P xa x l q U 22 0 d 8e () l l xax l q - + p = 22 0 ln 8e 2 22 0 ln 8 + p = a lal l q e + p = a lal l q 22 0 ln 4e 2 0 4r Q E ep = p = 2 1 2 1 2 0 12 4 d R R R R r drQ rEU e - p = 210 11 4RR Q e 12 12210 4 RR URR Q - p = e 0 e s
