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1、2015-2016学年浙江宁波市九校高一（下）学期期末数学试题一、选择题1已知，则下列不等式成立的是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：A中，当时，不成立；B中，故B正确；C中，当时，不成立；D中，当时，不成立，故选B【考点】不等式的性质2在等差数列中，则等于（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】试题分析：因为，所以，故选C【考点】等差数列的性质3直线与圆的位置关系为（ ）A与相交 B与相切C与相离 D以上三个选项都有可能【答案】A【解析】试题分析：由题意，得，所以直线恒过定点，又点在内，所以直线与圆相交，故选A【考点】直线与圆的位置关系【方法点睛】直线与圆的位置关系考虑三
2、法：（1）确定直线所过的定点，判断定点在圆内；（2）通过判断圆心到直线的距离与半径的大小关系而实现；（3）通过将直线方程与圆方程联立消元后，利用判别式判断，此法是判断直线与圆锥曲线位置关系的通法4已知的面积，则等于（ ）A-4 B C D【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，即由余弦定理，得，所以，所以，解得，故选D【考点】1、余弦定理；2、三角形面积公式；3、同角三角形函数间的基本关系5过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，要使最小，则点到加以的距离最大即可，由图象知，当点点时
3、，最小，此时，则，即，所以，故选C【考点】1、简单的线性规划问题；2、二倍角公式【方法点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：是准确无误地作出可行域；画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得6若，则（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：因为，所以，又，所以，所以，所以，故选D【考点】1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式；3、诱导公式【技巧点睛】对于给角求角问题，常见有：(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2
4、)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”7以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中的“杨辉三角形”.1 2 3 4 5 2013 2014 2015 20163 5 7 9 4027 4029 40318 12 16 8056 806020 28 16116该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ）A BC D【答案】B【解析】试题分析：观察数列，可以发现规律：每一行都是一个等差数列，且第一行的公差为1第二行的公差为2，第三行
5、的公差为4，第四行的公差为8，第2015行的公差为，第2016行（最后一行）仅有一个数为，故选B【考点】1、归纳与推理；2、等差数列的通项公式8已知关于的二次方程在区间内有两个实根，若，则实数的最小值为（ ）A1 B C D【答案】D【解析】试题分析：设，因为，所以，所以，所以因为，当且仅当时取等号，所以，所以，所以实数的最小值为，故选D【考点】 1、方程的根；2、基本不等式二、填空题9已知直线，则原点关于直线对称的点是 ；经过点且纵横截距相等的直线方程是 .【答案】；或【解析】试题分析：设原点关于直线对称的点为，则，解得，所以所求点的坐标为；当直线过原点的，方程为，即，当直线不过原点时，设直
6、线的方程为，把点代入，得，所以直线方程为，综上所述所求直线方程为或【考点】1、直线方程；2、两直线间的位置关系10对正整数定义一种新运算“”，它满足：；，则 ； .【答案】【解析】试题分析：因为，所以；【考点】新定义11已知，且，则 ； .【答案】【解析】试题分析：因为，所以，所以，所以；，所以【考点】1、同角三角函数间的基本关系；2、两角差的余弦公式12设实数满足，则的取值范围是 ；的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，由图知，当目标函数经过点时取得最小值，经过点时取得最大值，所以的取值范围是；，由图知，当时，在点处取得最小值，在原点处取得最大值0，所以当时，
7、当，在点处取得最小值，在点处取得最大值，所以，所以的取值范围是【考点】简单的线性规划问题13直线被圆截得弦长为2，则的最小值为 .【答案】【解析】试题分析：将圆的方程化为标准方程为，所以圆心为，半径为1，所以直线经过圆心，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为【考点】1、直线与圆的位置关系；2、基本不等式【方法点睛】当函数或代数式具有“和是定值”、“积是定值”的结构特点时，常利用基本不等式求其最大、最小值在具体题目中，一般很少考查基本不等式的直接应用，而是需要对式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式得出结果14已知数列的前项和为，当数列的通项公式为时，我们记实数
8、为的最小值，那么数列，取到最大值时的项数为 .【答案】34【解析】试题分析：因为，设，则，所以单调递增，所以当时，取得最小值，即，所以，当时，当时，所以数列取到最大值时的项数为34【考点】1、递推数列；2、数列的单调性15已知正实数满足，则的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：因为为正实数，当且仅当，即，时等号成立，所以的取值范围是【考点】基本不等式【技巧点睛】使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时，基本的技巧是创造使用这些不等式的条件，如各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中要根据这个原则对求解目标进行适当的变换，使之达到能够使用这些不等式求解最值的
9、目的三、解答题16设函数，已知不等式的解集为.（1）若不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）若对任意的实数都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）首先根据不等式的解集求得的值，然后求出函数的最小值，从而求的取值范围得；（2）首先将问题转化为，然后根据函数的单调性求得的取值范围试题解析：已知，解为1,3，则 （1），所以，（2）恒成立，因为在单调递增，最小值在时取到，最小值为，故.【考点】1、不等式恒成立问题；2、函数的单调性【方法点睛】在给定自变量的取值范围时，解有关不等式问题时，往往采用分离变量或适当变形，或变换主元，或构造函数，再利用函数的单调或基本不等式
10、进行求解，在解答时，一定要注意观察所给不等式的形式和结构，选取合适的方法去解答17已知.（1）求的值；（2）若为直线的倾斜角，当直线与曲线有两个交点时，求直线的纵截距的取值范围.【答案】（1）8；（2）【解析】试题分析：（1）首先根据条件求出的值，然后利用倍角公式结合同角三角函数间的基本关系求解即可；（2）首先根据直线与圆有两个交点，利用点到直线的距离公式求得的范围，然后由直线与圆相切时求得的最小值，从而求得参数的取值范围试题解析：（1），故（2）由题意可知直线，而曲线为圆的一部分（右半圆），当直线与圆有两个交点时，故可得.又曲线如图所示，当直线过点时，所以参数的取值范围是.【考点】1、倍角公
11、式；2、同角三角函数间的基本关系；3、直线与圆的位置关系18在中，角所对的边满足.（1）求角的大小；（2）若边长，求的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）首先利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简已知条件等式，由此求得的值，从而求得角的大小；（2）首先利用正弦定理结合两角和的正弦公式得到关于关于角的表达式，然后利用辅助角公式求出其最大值，也可首先利用余弦定理求得的关系式，然后利用基本不等式求出的最大值试题解析：（1）因为，故.也即，又，所以，又，故.（2），令，则，当时，.另解：由余弦定理可知：，即，故，所以，当时，即时，【考点】1、正弦定理；2、两角和的正弦公式；3、辅助角公
12、式19已知圆心在轴正半轴上的圆与直线相切，与轴交于两点，且.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆交于不同的两点，若设点为的重心，当的面积为时，求直线的方程.备注：的重心的坐标为.【答案】（1）；（2）或【解析】试题分析：（1）首先根据条件设出圆的标准方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心坐标及半径，从而得到圆的标准方程；（2）首先利用三角形面积公式求出，然后设出点的坐标及直线的方程，并联立圆的方程，从而利用重心的性质及韦达定理结合判别式求出直线的斜率，进而求得直线的方程试题解析：（1）由题意知圆心，且，由知中，则，于是可设圆的方程为又点到直线的距离为，所以或（舍），故圆的方程为.（2）
13、的面积，所以若设，则，即，当直线斜率不存在时，不存在，故可设直线为，代入圆的方程中，可得，则，所以或，得或，故满足条件的直线的方程为或.【考点】1、圆的方程；2、点到直线的距离；3、直线方程；4、直线与圆的位置关系【易错点睛】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况20已知正项数列的前项和为，数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立；（3）数列满足，它的前项和为，若存在正整数，使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）或【解析】试题分析：（1）首先根据条件中的递推关系结合与的关系推出数列为等差数列，由此求得数列的通项公式；（2）首先结合（1）得到的表达式，然后利用裂项法结合放缩法证明即可；（3）首先结合（1）得到的表达式，然后利用错位相减法求出，从而分为偶数、为奇数，利用换元法结合函数的单调性求得的取值范围试题解析：（1），当时，两式相减得：，所以因为数列为正项数列，故，也即，所以数
