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1、本章内容 本章首先介绍结构位移计算的基本概念，然后介绍变形体系的虚功原理和结构位移计算的一般公式，以及静定结构因荷载作用而引起的位移的计算，同时推出梁和刚架位移计算的一种简便方法图乘法。最后，简要说明静定结构因支座移动、温度改变而引起的位移的计算和用于超静定结构内力计算的互等定理。,9 静定结构的位移计算,9.1 位移计算的基本概念 9.2 变形体系的虚功原理和结构位移计算的一般公式 9.3 静定结构在荷载作用下的位移计算 9.4 图乘法 9.5 静定结构在支座位移、温度改变时的位移计算 9.6 互等定理,9 静定结构的位移计算,第一节 位移计算的基本概念,结构在荷载作用、温度变化、支座移动、
2、制造误差与材料收缩等因素影响下，将发生尺寸和形状的改变，这种改变称为变形。 结构变形后，其上各点的位置会有变动，这种位置的变动称为位移。 结构的位移通常有两种：即截面移动和截面转动。,截面移动称线位移，即各截面形心的移动；截面转动称角位移，用杆轴上该点切线方向的变化来表示。 如图所示刚架，在荷载作用下产生虚线所示变形。,第一节 位移计算的基本概念,如图所示结构在荷载P作用下发生如虚线所示变形,第一节 位移计算的基本概念,(1) 为了验算结构的刚度，即保证结构的位移不超过允许的位移限值。 (2) 为计算超静定结构打下基础。在计算超静定结构时，单用静力平衡条件不能得到惟一确定解，还必须考虑位移条件
3、。 另外，在结构的制作、架设、养护等过程中，往往需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施，因而也需要进行位移计算。,第一节 位移计算的基本概念,第二节 变形体系的虚功原理和结构位移计算的一般公式,一、外力虚功和内力虚功,动力学中功的定义是：一个不变的集中力所作的功，等于该力的大小与其作用点沿力作用线方向所产生的分位移的乘积。,当作功的力与相应的位移彼此独立无关时，我们将这种功称为虚功。作用在结构上的外力（包括荷载和支座约束力）所作的虚功，称为外力虚功，用符号表示。,在虚功的定义中，力和位移是两个彼此独立无关的要素，这样就可将虚功中的两个要素看成是分别属于同一结构的两种彼此无关的状态。
4、其中，属于力或力系的称为力状态（图a），属于位移的称为位移状态(图b)。当结构的力状态的外力因结构的位移状态的位移作虚功时，力状态的内力也因位移状态的相对变形而作虚功，这种虚功称为内力虚功或虚变形能，用符号V表示。,第二节 变形体系的虚功原理和结构位移计算的一般公式,对于图a所示杆件结构，设力状态图a中任意一微段dx的内力为FN1、FQ1、M1（图c），而位移状态图b中对应于此微段的因位移发生的相对变形，分别为正应变、切应变和曲率（图d、e、f）。,第二节 变形体系的虚功原理和结构位移计算的一般公式,于是，由内力虚功的定义即可得，微段上的内力虚功（不计高阶微量）为,将上式沿杆件长度进行积分，然
5、后对结构全部杆件的积分结果求和，即得结构的内力虚功为,第二节 变形体系的虚功原理和结构位移计算的一般公式,二、虚功原理,变形体系的虚功原理可表达为：若设变形体系在力系作用下处于平衡状态（力状态），又设该变形体系由于别的原因而发生符合约束条件的微小的连续变形（位移状态），则力状态的外力在位移状态的位移上所作的虚功，恒等于力状态的内力在位移状态的变形上所作的虚功即内力虚功，将其简写为,外力虚功W内力虚功V,第二节 变形体系的虚功原理和结构位移计算的一般公式,于是，对于杆件的虚功原理就可表达为,此式又称为杆件结构的虚功方程。,第二节 变形体系的虚功原理和结构位移计算的一般公式,三、利用虚功方程计算结
6、构的位移,如图示的杆件结构，由于荷载FP1和FP2，以及支座的位移c1和c2等各种外因的作用，因此发生了图中虚线所示的变形，这里将此状态称为结构的实际状态。现欲求结构变形实际状态中点的水平位移，就把这一实际状态作为结构的位移状态。,第二节 变形体系的虚功原理和结构位移计算的一般公式,在利用虚功方程计算点D的水平位移DH时，因位移状态是已给定的，故力状态可虚设。,虚设的平衡力系的外力在实际状态位移上所作的总的外力虚功，即为,第二节 变形体系的虚功原理和结构位移计算的一般公式,或简写成,式中 代表虚拟状态中的支座约束反力，c代表实际状态中的支座位移， 即为支座约束反力之虚功之和。,第二节 变形体系
7、的虚功原理和结构位移计算的一般公式,今以表示实际状态中微段的变形（图c），于是总的内力虚功，即为,第二节 变形体系的虚功原理和结构位移计算的一般公式,由杆件结构的虚功方程式(9-2)，得,亦即,这就是结构位移计算的一般公式,第二节 变形体系的虚功原理和结构位移计算的一般公式,这种利用虚设单位荷载来求结构位移的方法，又称为单位荷载法。在使用该方法时，必须注意以下几点：第一，应用此法每次只能求得一个位移；第二，结构的位移计算过程中有两组内力，一组是由荷载引起的内力 ，另一组是由单位荷载引起的内力 ；第三，虚设单位荷载的方向可任意假定，若按上式计算所得的结果为正，则表示实际位移方向与虚设单位荷载方向
8、相同，否则相反。在此采取这样的规定，是因为公式中位移实际上为虚设单位荷载所作的虚功，若计算结果为负，则表示虚设单位荷载的功为负，即位移的方向与虚设单位荷载的方向相反。,第二节 变形体系的虚功原理和结构位移计算的一般公式,单位荷载法既可用来计算结构的线位移，也可用来计算结构的其他形式的位移，如一个截面的角位移，或两个截面的相对位移，等等。鉴于此，所虚设的单位荷载，除了是一个单位荷载外，也可以是一个单位力偶，甚至还可以是作用于两个不同截面的一对单位力或一对单位力偶。例如，,第二节 变形体系的虚功原理和结构位移计算的一般公式,第二节 变形体系的虚功原理和结构位移计算的一般公式,第三节 静定结构因荷载
9、作用而引起的位移计算,若结构只受到荷载的作用，今以 表示结构在实际状态下的内力，相应的在实际状态下的微段变形即为,式中， 分别为杆件的抗弯、抗拉压和抗剪刚度；k为截面的切应力分布不均匀系数，它与截面的形状有关，当截面为矩形截面时k=1.2 ，为圆形截面时 k=1.1 ，等等。将式（a）代入式（9-3）并注意到此时并无支座位移（即c=0），于是得,这就是在荷载作用下静定结构位移计算的一般公式。式中 ， ， 和代表结构在虚拟状态下由于单位荷载作用而产生的内力。,第三节 静定结构因荷载作用而引起的位移计算,对于梁和刚架，在受荷载作用时，其轴向变形和剪切变形都很小，可以略去不计。因此，位移计算只考虑弯
10、曲变形一项。于是，上式即简化为,对于一般实体拱，在受荷载作用时的位移计算，也是只考虑弯曲变形一项就已足够精确。但对于扁平拱，就须考虑轴向变形对位移的影响。,第三节 静定结构因荷载作用而引起的位移计算,对于桁架结构，由于只有轴力的作用，而且每一根杆件的内力及横截面面积都沿杆件长度不变，所以在荷载作用下静定结构位移计算的一般公式。即简化为,第三节 静定结构因荷载作用而引起的位移计算,例91 试求a所示等截面简支梁中点的竖向位移。已知刚度EI为常数。,第三节 静定结构因荷载作用而引起的位移计算,解：在梁中点C加一竖向单位荷载作为虚拟状态（图b），分别求出实际荷载和单位荷载作用下梁的弯矩。以左支座为坐
11、标原点，当 时，有,第三节 静定结构因荷载作用而引起的位移计算,则,计算结果为正，表明梁中点C的竖向位移方向与虚拟单位荷载的方向相同，即为向下。,第三节 静定结构因荷载作用而引起的位移计算,例9-2 试求图a所示结构水平杆右端C得水平位移和角位移。已知刚度为常数。,第三节 静定结构因荷载作用而引起的位移计算,解：今不计结构的轴向变形和剪切变形的影响，只计算弯曲变形一项。结构在荷载的作用下，其实际状态的弯矩图如图b所示。先求右端C的水平位移，即在右端C处加上一方向向左的水平单位荷载FP=1，以作为结构的虚拟状态，画出其弯矩图如c所示。由此得出两种状态下的弯矩为,横梁BC上,竖柱AB上,第三节 静
12、定结构因荷载作用而引起的位移计算,则,计算结果为负，表明右端C的实际位移方向与所设单位荷载的方向相反，即方向向右。,第三节 静定结构因荷载作用而引起的位移计算,再求右端C的角位移时，即在右端处加一顺时针方向的单位力偶，其力矩M=1，以作为结构的虚拟状态，并画出其弯矩图如图d所示。由此得出两种状态下的弯矩为,横梁BC上,竖柱AB上,第三节 静定结构因荷载作用而引起的位移计算,则右端C的角位移为,计算结果为正，表明右端C的实际角位移方向与所设单位力偶的方向相同，即为顺时针方向。,第三节 静定结构因荷载作用而引起的位移计算,例83试用单位荷载法计算图a所示桁架结点C的竖向位移CV。已知各杆刚度EA均
13、为 。,第三节 静定结构因荷载作用而引起的位移计算,解：已知桁架在荷载作用下的实际状态，今在桁架结点C处加上一竖向单位荷载FP=1，以作为桁架结构的虚拟状态（图b）。然后，求出两种状态下各杆的轴力和 ，并代入公式，即得梁中点C的竖向位移为,第三节 静定结构因荷载作用而引起的位移计算,计算结果为正，表明桁架结点C的实际竖向位移与所设单位荷载的方向相同，即方向向下。,第三节 静定结构因荷载作用而引起的位移计算,第四节 图乘法,在计算梁和刚架受荷载作用下的位移时，需要用到以下积分式,式中 是两弯矩函数的乘积，对于直杆或直杆的一段来说，当刚度EI沿杆长度不变时，而且各杆段的图和图中至少有一个是直线图形
14、，于是就可以通过两个弯矩图相乘的方法来计算此积分的结果，而得出解答。这种借图形相乘的方法简称为图乘法。,现以如图所示的弯矩图来说明图乘法的涵义。其中，图为直线， 图图线为任意形状。,今以点O为坐标原点，并设为 图直线的倾角，继而由其几何关系即得出 图直线上任意一点的竖标为,第四节 图乘法,将此竖标 代入以上积分式，则有,令dA=MPdx为MP图中的微分元面积，于是即为此元面积对轴的静矩。用xC表示MP图形心C到轴y的距离，则MP图的面积A对轴y的静矩即为,第四节 图乘法,则,由 图中的几何关系可以看出,其中yC为MP图形心C在图中对应的竖标，于是,第四节 图乘法,这就是图乘法使用的公式，它将上
15、述位移计算的积分，转化为了求图形的面积，并使之与形心所对应的图形竖标相乘，再除以刚度的简单四则运算。其运算结果的正负规则是：面积A与竖标yC在基线的同一侧时为正，而不在同一侧时为负。但应注意，竖标yC必须从直线图形上取得。,第四节 图乘法,图给出了位移计算中几种常见图形的面积计算式和形心的坐标位置。在应用图乘法进行图乘时，还有几个具体问题须注意：,第四节 图乘法,（1）若一个图形是曲线，另一个图形是由几段直线组成，则应分段进行图乘。如图所示的情形，即有,第四节 图乘法,（2）若两个图形都是梯形，则可以不必求出梯形的形心坐标位置，而是把其中一个梯形分为两个三角形（也可分为一个矩形或一个三角形），
16、如图所示的情形，即有,其中y1和y2可由下式计算,第四节 图乘法,当图形皆为直线，并都为含有不同符号的两部分（如图）时，就可将其中一个图形,如MP图分成两个三角形，因为MP图的任意一截面的竖标等于对应的两个三角形竖标的代数和，所以按上述方法计算，即有,第四节 图乘法,（3）若是对于图a所示的一段直杆在均布荷载作用下的MP图，则可将其看成是由两端弯矩竖标连成的梯形弯矩图和简支梁在均布荷载作用下的抛物线弯矩图叠加而成。这样，在应用图乘法时，就可将这两个图形分别与图相乘，然后求其代数和，即能得到图乘的最后结果。,第四节 图乘法,例94 试求图a所示简支梁左端的角位移和梁中点C的竖向位移。已知刚度为常数。,第四节 图乘法,解：画出荷载作用下的弯矩图即MP图（图b），以及两个设定单位荷载的弯矩图即和（图c
