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1、第二章 角平分线模型的构造技巧提炼：与角平分线有关的常用辅助线作业，即角平分线的四大基本模型。已知P是MON平分线上一点，（1） 若PAOM于点A，如图a，可以过P点作PBON于点B，则PB=PA。可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”。（2） 若点A是射线OM上任意一点，如图b，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造OPBOPA。可记为“图中有角平分线，可以将图形对折看，对称以后关系现”。（3） 若APOP于点P，如图c，可延长AP交ON于点B，构造AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”。（4） 若过P点作PQON交OM于点Q，如图d，可以构造
2、POQ是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”。例题精讲例1 （1）如图a，在ABC中，C=90,AD平分CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是 cm。 （2）如图b，已知：1=2，3=4，求证：AP平分BAC。例2 如图a在RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D，AF平分CAB，交CD于点E，交CB于点F， （1）求证：CE=CF。 （2）将图a中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置，使点E落在BC边上，其他条件不变，如图b，试猜想:BE与CF有怎样的数量有关系？请证明你的结论。例3 阅读下列学习材料：如图a，OP平分MON，A为OM上一点，
3、C为OP上一点，连接AC，在射线ON上截取OB=OA，连接BC，易证AOCOBC。请根据上面的学习材料，解答下列各题：（1） 如图c，在ABC中，AD中BAC的外角平分线，P是AD上异于A点的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由。（2） 如图d，AD中BAC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由。例4 如图，已知等腰直角ABC中，A=90,AB=AC，BD平分ABC，CEBD，垂足为点E，求证：BD=2CE。例5 （1）如图a，BD、CE分别是ABC的外角平分线，过点A作ADBD、AECE，垂足分别为D、E，连接DE，求证DEBC，DE=
4、；（2） 如图b，BD、CE分别是ABC的内角平分线，其他条件不变；（3） 如图c，BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线，其他条件不变，则在图b，图c两种情况下，DE与BC还平行吗？它与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。变式练习：如图，在ABC中，AB=3AC，BAC的平分线交BC于点D，过点B作BEAD，垂足为E，求证：AD=DE。例6 如图a，AB=AC，BD、CD分别平分ABC、ACB，问：（1） 图a中有几个等腰三角形？（2） 过点D点作EFBC，如图b，交AB于点E，交AC于点F，图中又增加了几个等腰三角形？（3） 如图c，若将题
5、中的ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？直接写出线段EF与BE、CF有什么关系？（4） 如图d,BD平分ABC，CD平分外角ACG，DEBC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么关系？并说明理由。（5） 如图e，BD、CD为外角CBM、BCN的平分线，DEBC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什么关系？例7 如图，已知在ABC中，AC=BC，C=90,AD平分CAB，求证：AB=AC+CD。变式练习：1、已知ABC中，AC=AC，A=108,BD平分ABC，求证：BC=AB+CD。2、已知ABC中，AC=AC，A=10
6、0,BD平分ABC，求证：BC=BD+AD。例8 如图a，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题：（1） 如图b，在ABC中，ACB是直角，B=60,AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请你判断写出FE与FD之间的数量关系；（2） 如图c，在ABC中，ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得出结论是否依然成立？若成立请证明，若不成立，请说明理由。牛刀小试1、 （1）如图a，在ABC中，ABC与ACB的角平分线相交于点F，过点F作DEBC，交AB于点D，交AC于
7、点E，若BD+CE=9，则线段DE之长为 。（2） 如图b，在ABC中，BD、CD分别平分ABC和ACB，DEAB，FDAC，如果BC=6，求DEF的周长。2、已知：BAD=CAD，ABAC，CDAD于点D，H是BC的中点。求证：。3、已知：四边形ABCD中，B+D=180,BC=CD。求证：AC平分BAD。4、 ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点P，连接AP、CP，若BPC=40,求CAP的度数。5、在四边形中，BCAB，AD=CD，BD平分ABC，求证：A+C=180。6、 如图a，BP平分MBN，点D在射线BP上，ADC的两边分别交射线BM、BN于A、C两点，且
8、ADC+MBN=180。（1） 猜想AD与DC之间的数量关系，直接写出你的结论。（2） 图b是ADC绕点D旋转一定角度得到的，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。 a b 7、 （1）如图a，在RtABC中，C=90,B=45，AD是ABC的角平分线，则AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为 。（2） 如图b，若将（1）中条件“在RtABC中，C=90,B=45”改为“在ABC中，C=2B”请问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的猜想。8、在平行四边形ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。（1）在图a中证明CE=CF；（2）若ABC=90,G是
9、EF的中点(如图b)，直接写出BDG的度数；（3）若ABC=120，FGCE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图c）,求BDG的度数。 9、 已知，在ODC中，D=90，EC是DCO的角平分线，且OECE，过点E作EFOC交OC于点F，猜想：线段EF与OD之间的数量关系，并证明。10、在四边形ABDE中，C是BD边的中点。（1）如图a，若AC平分BAE，ACE=90，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 ；（直接写出答案）（2）如图b，AC平分BAE，EC平分AED，若ACE=120，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；（3）如图c，BD=8，AB=2，DE=8，ACE=135，则线段AE长度的最大值是 。（直接写出答案） a b c
