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1、鹿城区教师培训和科研中心 朱力 2014.3 苍南,梳理基本思想,培养数学思维,背 景,数学课程标准【总目标】 通过义务教育阶段的数学学习，学生能： 1. 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。 2. 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。 3. 了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。,教材哪些地方渗透着基本思想？,倒底有哪些基本思想？,怎样教才能培养孩子们真正的数学思想?,为什么要
2、把这些基本思想作为教学目标？,数学思想怎么检测？,什么是数学基本思想？,你知道哪些数学思想？,一、化归思想 二、符号化思想 三、类比思想 四、分类思想 五、模型思想 六、数形结合思想 七、对应思想 八、极限思想 九、集合思想 十、统计思想 十一、假设思想 十二、代换思想 十三、单位化思想 十四、函数思想 十五、运筹思想 十六、抽象思想 ,数学的基本思想,数学思想可以有许多，并且是有层次的。 数学的基本思想则是其中带有基本重要性的思想，处于较高的层次。 其它思想都在基本思想中派生出来。,什么是数学基本思想？,概念、性质、法则、公式等数学的基础知识和基本技能,对数学理论与内容的本质认识、解决数学问
3、题的基本观点和根本想法,人们运用这些数学思想解决问题过程中形成的一些程序、手段,基础、躯壳,精髓,数学学科精神,数学方法,数学思想,表层知识与深层知识,数学素养,表层知识,深层知识,核心精神,灵魂,哪些是数学基本思想？,首先要回答的问题是,数学学科的思维特点,什么是对数学理论与内容的本质认识、解决数学问题的基本观点和根本想法？,什么是数学学科精神,什么是数学,数学的对象： 数、形、机会、算法、变化 数学的特点： 高度抽象性、应用广泛性、体系严谨性 数学的思考方式： 抽象化、符号化、公理化、最优化、模型,数学学科的特点反映在学生身上,1、抽象思维 2、推理思维 3、建模思维 4、理性精神,数学真
4、正学得好的学生思维特点,他究竟缺了什么？,杨振宁的话,贯穿数学学习始终,核心精神,这个学生缺的究竟是什么？,“52型拖拉机，一天耕地150亩，问12天耕地多少亩？” 一位学生是这样解题的：5215012=,在他眼中，数字都是用来算的，而且都要放进去算。 还没有建立清晰的数量关系模型。,接下来的对话,“告诉我，你为什么这么列式？” “老师，我错了。” “好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式？” “除。” “怎么除？” “大的除以小的。” “为什么是除呢？” “老师，我又错了。” “你说，对的该是怎样呢？” “应该把它们加起来。”,恐慌，极端不自信。 解决问题的思路建立在计算经验的基础上，而不是建
5、立在运算意义基础上。,启而不发？,“我们换一个题目，比如你每天吃两个大饼，5天吃几个大饼？” “老师，我早上不吃大饼的。” “那你吃什么？” “我经常吃粽子。” “好，那你每天吃两个粽子，5天吃几个粽子？” “老师，我一天根本吃不了两个粽子。”,无法脱离具体的事物演算。,启而不发？,“那你能吃几个粽子？” “吃半个就可以了。” “好，那你每天吃半个（小数乘法没学）粽子，5天吃几个粽子？” “两个半。” “怎么算出来的？” “两天一个，5天两个半。”,他究竟缺了什么？,可怜的孩子，在数学面前他只有恐慌，没有思考。 他没有办法脱离具体的情境。 这孩子数学入门了吗？ 他究竟缺了什么？ （1）运算意义
6、的理解 （2）数量关系 （3）数学的基本思维抽象,我的一生很庆幸，因为我曾经在两个不同的国度生活过，一个国家注重演绎，一个国家注重归纳。 杨振宁,速度,时间,路程,每小时80千米,行了5小时,一共行了400千米,v,t,S,S=vt,抽象,具体,符号化,模型,80*5400（千米）,30*9270（千米）,归纳推理,路程速度*时间,数学的学习过程处处也处处体现,人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科； 通过数学推理，进一步得到大量结论，数学科学得以发展； 通过数学建模，把数学应用到客观世界中，产生了巨大的效益，又反过来促进数学科学的发展。,他们真的学好数学了吗?,他
7、们数学成绩很好,但： 对概念不求甚解； 对定理、公式、法则不考虑它们为什么成立，在什么条件下成立； 做练习时，对题型、套公式，不去领会解题方法的实质。,他们真的学好数学了吗?,他们数学成绩很好,但： 缺乏自己的思考，特别不能进行长时间持续性的思考，浅尝辄止。,他们真的学好数学了吗?,他们数学成绩很好,但： 对书中内容趋之若鹜，对课外的数学题避而远之。 数学学得呱呱叫，生活中却没有用数学的冲动。,理性精神,理性思辨，不感情用事。 实事求是，不盲从权威。 尊重数据，不弄虚作假。 科学严谨，不随欲而为。,西方文化的重要组成部分，也是中国文化最缺少的部分 电影艺术的理性美泰坦尼克号 对数据的尊重： 哪
8、里来的？ 可靠吗？实证过吗？ 敬畏真实的数据 深入挖掘数据,关于理性精神,概念、性质、法则、公式等数学的基础知识和基本技能,对数学理论与内容的本质认识、解决数学问题的基本观点和根本想法,人们运用这些数学思想解决问题过程中形成的一些程序、手段,基础、躯壳,精髓,数学学科精神,数学方法,数学思想,表层知识与深层知识,数学素养,表层知识,深层知识,核心精神,灵魂,概念、性质、法则、公式等数学的基础知识和基本技能,数学基本思想：,基础、躯壳,精髓,表层知识与深层知识,数学素养,表层知识,深层知识,核心精神,灵魂,抽象思想,模型思想,推理思想,数学学科精神,概念、性质、法则、公式等数学的基础知识和基本技
9、能,数学基本思想：,基础、躯壳,精髓,表层知识与深层知识,数学素养,表层知识,深层知识,核心精神,灵魂,抽象思想,模型思想,推理思想,理性精神,数学的基本思想 抽象思想 推理思想 模型思想,基本思想一：抽象思想,国外的一则笑话,幼儿园放学后，女儿告诉做数学家的父亲：“我们今天学了集合！” 父亲：“老师是怎么教的？” 女儿：“女教师让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集合； “接着，她又让所有的女孩子站起来，说这是女孩子的集合。” “然后，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合，” “最后，教师问全班：大家是否都懂了？她得到了肯定的答复。”,国外的一则笑话,父：“那么，我们是否可以将
10、世界上所有的匙子或土豆组成一个集合？” 迟疑了一会，女儿最终作出了这样的回答： “不行！除非它们都能站起来！”,一、数学抽象的思想,数学是从量的方面反映客观实在的，即在数学的抽象中我们完全舍弃了事物的质的内容而仅仅保留了他们的量的属性。这就是数学与一般自然科学的一个基本区别,具体事物,符号化,数的模型,具体化,6的认识,第一次抽象,第二次抽象 舍去高矮长短宽窄等非本质特征,几何模型,数学抽象的思想派生出的有： 分类思想 集合思想 数形结合思想； 符号化思想； 对称思想； 对应思想； 极限思想 ,分类思想,数学分类思想，它是人们在研究数学对象时，常常采用的根据一定的标准，对事物进行有序划分和组织
11、，再进行研究分析的思想。 既是一种重要的数学思想。又是一种重要的数学逻辑方法。,一、数学抽象的思想,分类思想,数学价值： 应用分类讨论，往往能使繁杂的问题清晰化。（三角形内角和、一个非零正整数乘小数的结果判断） 教育价值： 分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题、探索规律的能力。（统计、编码都是建立在分类思想的基础上）,一、数学抽象的思想,渗透分类思想的课例:,图形的分类 四边形、角的分类、三角形的认识 数的分类 认识奇数偶数质数合数 算式的分类 认识有余数除法 等式的分类 认识方程,一、数学抽象的思想,以三角形内角和为例,选择研究的三角形对象为什么要强调“
12、不同类型”？,1、在无法穷尽的情况下，选择各种类型的样本进行研究，用样本反映整体。,2、分类讨论的思想。,不同类型指的是哪几种类型？,除了各选一个锐、直、钝的方法，还有其它的吗？,分类思想渗透的研究:,怎样驱动学生有目的地分类； 怎样引导学生找到合适的标准； 分类如何做到不重不漏； 形成分类讨论的意识 ,一、数学抽象的思想,集合思想,集合理论的创始者德国数学家康托夫这样描述集合： 集合：指把确定的、彼此可以区分的具体的或想象的对象（它们将称为集合的元素）看成一个整体。 集合思想：把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法，继而把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式
13、放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。,一、数学抽象的思想,集合思想典型案例 加减法的意义并集、差集 数的认识有限集、无限集 长方形、正方形的关系子集 因数和倍数、质数和合数 2、3、5的倍数的特征交集 公因数和公倍数 最大公约数和最小公倍数 平行四边形、长方形、正方形的关系 三角形的分类 重叠问题,一、数学抽象的思想,（1）认识加法：,很久很久以前，还没有文明人类的时候，那时候还只有野人。在一座大森林里有野人一家，野人爸爸和野人妈妈。爸爸负责每天出去打猎找食物，妈妈负责在家里做家务带宝宝。有一天早上，野人爸爸出门打猎，到了晚上，野人爸爸回来了。野人妈妈问：你今天打了什么猎物啊？野人爸爸
14、说：我今天打到了一只兔子。我们今天晚上有兔肉吃咯。野人妈妈说：不行不行，我们前几天还有很多东西没吃完，先别急着吃。”,集合思想典型案例,讲到这里，我在黑板上贴一只兔子图片，我问：“那怎么办呢？”居然有学生想都不想说：“放到冰箱里。”我晕。 还是把兔子养起来吧。野人妈妈说。于是野人爸爸就用树枝编了个围栏，把小兔子圈在里面。 讲到这里，我在兔子图外画了一个圈，写上1（呵呵。集合圈的雏形） 第二天，野人爸爸又出去打猎，回来的时候，妈妈问，今天你又打了什么啊？爸爸说，我今天运气特别好，我打到了两只兔子，今天晚上我们可以大吃一顿了。妈妈说，先别急着吃，我们先把前几天食物吃完。这两只兔子也养起来，准备过冬
15、。于是野人爸爸又编了一个围栏，把兔子养起来。,一、数学抽象的思想,集合思想典型案例,这时，我贴上两只兔子，在外面画一个圈。野人妈妈看到了，说，为什么不把这两个圈的兔子，放到一个圈里养呢？于是野人爸爸就把这两部分兔子合在一起，养在一个圈里。现在一共养了多少只兔子呢？” 讲到这里，我用一个大圈把三只兔子都圈了起来。,一、数学抽象的思想,集合思想典型案例,(2)认识减法：,动物都过冬了，兔子要遭殃了。,大饥荒来了,(3)0的认识：,一、数学抽象的思想,集合思想典型案例,数形结合思想,指通过数(数量关系)和形(空间形式)之间的对应关系来研究、解决问题的思想。 让学生有写一写、画一画的冲动。,例：众数,
16、一、数学抽象的思想,用数形结合的思想解释等差数列求和公式。,如求 1+2+3+4+5,=（15）*5/2,数形结合思想典型案例之二,用数形结合的思想解释（a+b）2 = a2 + 2ab + b2,a,b,a,b,a2,ab,ab,b2,数形结合思想典型案例之三,用数形结合的思想解释a2 b2 =(ab）（ab),a,b,a,b,ab,a,b,周髀算经注解中记载赵爽的证明方法：,数形结合思想典型案例之四,一种新思路 百科情境下的数学问题解决,乘法分配律,数形结合思想典型案例之五,学习两位数乘两位数笔算前 师：你是怎样算的？ 生：个位二四得八，11=1； 十位21=2，14=4,数形结合思想典型案例之六,师：你是算出的？ 生：先二二得四，二三得六；再一 二得二，一三得三。这个二是 十位
