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1、1,第四章 不定积分,求原来那个函数的问题.,已知某曲线的切线斜率为2x,本章研究微分运算的逆运算,已会求已知函数的导数和微分的运算.,解决相反的问题,就是已知函数的导数或微分,例如,某质点作直线运动,已知运动速度函数,求路程函数.,常要,求此曲线的方程.,1.,2.,不定积分.,2,第一节 不定积分的概念与性质,原函数与不定积分的概念,基本积分公式,不定积分的性质,小结 思考题 作业,indefinite integral,第四章 不定积分,3,定义1,例,1. 原函数,如果在区间I上,则称,或,原函数.,一个,或由,知,是,原函数.,也是,的原函数,其中,为任意常数.,一、原函数与不定积分
2、的概念,4,问:,?,原函数存在问题,则在该区间上存在,可导函数,即,连续函数一定有原函数.,以后谈到函数的原函数时,总是对其连续区间而言.,5,如,一般,的原函数,(C为任意常数).,因,一个函数如果有原函数,就有无穷多个.,则,6,在区间I上的一个,在区间I上的任一原函数都,其中C为某一常数.,定理,定理表明:,的一整族函数,形如,是f(x)的全部原函数.,原函数,结 论,的形式,可表为,只要找到f (x)的一个原函数,就知道,它的全部原函数.,7,积分变量,积分常数,被积函数,定义2,被积表达式,2. 不定积分,不定积分.,(1) 定义,全部原函数的一般表达式,称为函数f (x)的,总和
3、(summa),记为,积分号,8,1. 被积函数是原函数的导数,被积表达式是,原函数的微分.,2. 不定积分表示那些导数等于被积函数的所,或说其微分等于被积表达式的所,有函数.,有函数.,因此绝不能漏写积分常数C.,3. 求已知函数的原函数或不定积分的运算称,为积分运算,它是微分运算的逆运算.,4. 以后不定积分的适用区间常指被积函数的连续区间.,9,例 求,解,解,例,?,10,解,例,设曲线方程上任一点的切线斜率都,等于切点处横坐标的两倍,求曲线的方程.,设曲线方程为,满足此条件的函数有无穷多个,如,等都是.,一般,所求曲线方程为,11,解,故所求曲线方程为,(2) 积分常数的确定,求通过
4、点 且其切线斜率为2x曲线.,例,的曲线族为,有,12,由不定积分的定义,结论,微分运算与求不定积分的运算是,如,(1),或,或,互逆的.,二、不定积分的性质,13,证,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,(2),(2)，(3)称为线性性质.,(3),14,实例,结论,要判断一个不定积分公式是否正确,只要将右端的函数求导,看是否等于被积函数.,求导公式,?,积分公式.,三、基本积分公式,积分运算和微分运算是互逆的，,15,基本积分公式,(k是常数),说明：,16,17,18,注意:,1. 不定积分的答案形式可以不同,只要导数等于被积函数就行.,如,19,2.,3. 绝大部分求
5、不定积分是探索性的,有些或者没有原函数,或者写不出原函数.,如,有原函数,但不是初等函数.,20,例 求下列不定积分.,出一些简单函数的不定积分,称为,利用不定积分的性质和基本积分公式,可求,直接积分法.,21,例 求积分,解,22,例 求积分,解,称为分项积分法.,分项积分法,利用线性性质计算积分,上两例是将被积函数作恒等变形,23,例 求积分,24,解,例,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形,才能使用基本积分表.,25,解,所求曲线方程为,已知一曲线 y = f (x)在点( x, f (x)处的切线,例,斜率为,且此曲线与y轴的交点为,(0,5),求此曲线的方程.,26,例 设,求,27,练习,28,练习,29,熟记基本积分公式,不定积分的性质,原函数的概念,不定积分的概念,求微分与求积分的互逆关系,四、小结,不定积分的几何意义,30/15,思考题(1),符号函数,在 内是否存在原函数？为什么？,31/15,思考题解答,不存在.,假设有原函数,故假设错误,所以 在 内不存在原函数.,结论,每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.,32,应先将绝对值符号化掉,即将| x |化作分段函数:,思考题(2),解:,33,因此在x = 0处必连续,由于原函数可导,所以原函数必定连续,于是有,
