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1、第三节 泰勒级数,二、泰勒定理,三、将函数展开成泰勒级数,一、问题的引入,四、典型例题,五、小结与思考,2,一、问题的引入,问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达？,如图:,3,由柯西积分公式 , 有,其中 K 取正方向.,则,4,由高阶导数公式, 上式又可写成,其中,给(1)式两端加上极限，可得,(1),5,在K内,令,6,从而在K内,泰勒级数,7,由上讨论得重要定理泰勒展开定理,8,二、泰勒定理,其中,泰勒级数,泰勒展开式,泰勒介绍,9,1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?),所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多.,因为 解析，可
2、以保证无限次可各 阶导数的连续性;,并且不必验证余项趋于零.,注意:,10,4.利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？,任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.,(为什么?),11,那末,即,因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的.,12,三、将函数展开成泰勒级数,常用方法: 直接法和间接法.,例如，,故有,13,仿照上例 ,14,2. 间接展开法 :,借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式.,间接法的优点:,不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直接
3、展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .,15,例如，,16,附: 常见函数的泰勒展开式,17,18,例1,四、典型例题,解,上式两边逐项求导,19,例2,分析,如图,20,即,将展开式两端沿 C 逐项积分, 得,解,21,例3,解,22,例4,解,23,例5,解,24,五、小结与思考,通过本课的学习, 应理解泰勒展开定理,熟记 五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成 泰勒级数的方法, 能比较熟练的把一些解析函数 展开成泰勒级数.,25,奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?,思考题,26,奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项, 偶函数 的泰勒级数只含 z 的偶次幂项.,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,27,泰勒资料,Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, England Died: 29 Dec 1731 in Somerset House, London, England,Brook Taylor,
