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1、复习,1、单位序列响应的求解 2、单位阶跃序列响应的求解,3.3 卷积和,1. 卷积和的定义: f(t) yzs(t)=h(t)*f(t) (t) h(t) f(k) yzs(k)=h(k)*f(k) (k) h(k),f(k）的分解： k=-2, f(-2)* (k+2) k=-1, f(-1)* (k+1) k=0, f(0)* (k) k=1, f(1)* (k-1) k=i, f(i)* (k-i),任意离散序列 可以表示为：,一、卷积和,称为序列 和 的卷积和。,上式表明，LTI离散系统对于任意激励 的零状 态响应是激励与单位序列响应 的卷积和。,一般而言，若有两个序列 和 ，和式
2、称为 和 的卷积和，简称卷积。表示为,i:求和变量 ：-+ ；k:参考量：-+,2 .任意序列作用下的零状态响应,根据h(k)的定义：,例3.3-1 如,解：,显然，上式中,例题,例1：f (k) = a k(k), h(k) = b k(k) ，求yzs(k)。 解： yzs(k) = f (k) * h(k),当i k时，(k - i) = 0,这种卷积和的计算方法称为：解析法。,例2 已知序列x(k)=(3)-k(k) ，y(k)=1, -k, 试验证x(k)和y(k)的卷积和运算满足交换律，即,证: 先计算x(k)*y(k)，考虑到(k)的特性，有,再计算y(k)*x(k)，同样考虑到
3、u(k)的特性，可得,求解过程中对k没有限制，故上式可写为 x(k)*y(k)=y(k)*x(k)=1.5 -k可见，x(k)*y(k)运算满足交换律。,所以,例3：求 (k) * (k),解：,例4：求ak (k) * (k 4),解：,考虑到(i)的特性，可将上式表示为,例 设f1(k)=e-k( k)，f2(k)= (k), 求f1(k)*f2(k)。,解 由卷积和定义式得,显然，上式中k0，故应写为,作图法求卷积和的步骤：,（1）将序列 的自变量用 代替，然后 将序列 以纵坐标为轴反转，成为 。,二、卷积和的图示,（3）讨论k的区间，并求乘积之和。,解：画出序列,讨论k的区间，并求,当
4、 时，,当 时，,当 时，,当 时，,当 时，,依此可得,*一个M点序列与一个N点序列卷积，其卷积的长度为M+N-1。,可见，求和符号内f1(i)的序号i与f2(k-i)的序号 (k-i)之和恰好等于k,如果将各f1(k)(k=0,1,2,)的值排成一行，将各f2(k)(k=0,1,2,)的值排成一列，如图3.3-3所示在表中各行与列的交叉点处，记入相应的乘积.,可以发现，沿斜线（虚线）上各项f1(i) f2(j) 的序号之和也是常数，与两因果序列卷积和公式 相同。沿斜线上各数值之和就是卷积和。,图3.3-3,f1 (k ),f2(k ),f1 (0 ),f1 (1 ),f1 (2 ),f1
5、(3 ),f2 (0),f2 (1),f2 (2),f2 (3),f1 (0) f2 (0),f1 (0) f2 (1),f1 (0) f2 (2),f1 (0) f2 (3),f1 (1) f2 (0),f1 (1) f2 (1),f1 (1) f2 (2),f1 (1) f2 (3),f1 (2) f2 (0),f1 (2) f2 (1),f1 (2) f2 (2),f1 (2) f2 (3),f1 (3) f2 (0),f1 (3) f2 (1),f1 (3) f2 (2),f1 (3) f2 (3),将例3.3-2的f1(k)、 f2(k)的各值排列如图3.3-4所示,三、卷积和的性质
6、,性质1 卷积和运算服从交换律、结合律和分配律，即,*两子系统并联组成的复合系统，其单位序列响应 等于两子系统的单位序列响应之和。,由卷积的分配律得：,由卷积的结合律得：,*两子系统级联组成的复合系统，其单位序列响应 等于两子系统单位序列响应的卷积和。,性质2 任一序列 与单位序列的卷积,性质 3 若f1(k)*f2(k)=f(k)，则,式中k1 , k2均为整数。,证明:,(或用图形卷积法证明),f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) 求卷积和是本章的重点,例子,例示：一个LTI离散时间的输入输出关系如下图所：,(1),x(n),y(n),(2)
7、,已知系统（1）的h1(n)=(n),系统（2）h2(n) (n)- (n-1),求系统（1）的输出y1(n)、系统（2）的输出y2(n)以及系统输出y(n),系统（1）和系统（2）单独分开，系统（1）的输出,设系统（2）的输入为x(n),输出为y2(n),有,可见，系统1为累加器，系统2为一阶差分运算器。若将系统1和系统2级联成一系统，有,系统输出为,恒等系统,解：,显然上二式仅在k0时成立。,所以,当 ，有,当 ，有,解：系统的差分方程为,例3.3-4 如图所示的离散系统，已知初始状态 ，激励 求系统的全响应。,（1）求系统的零输入响应 零输入响应满足,代入初值,（2）求单位序列响应和零状态响应,满足,与例3.2-1相同,解:,例题3.3-7：,(2),(3)系统的零输入和零状态响应;,(4),解（1）系统的自由响应的形式由特征根决定，而强迫响应的形式与激励有关，所以,解(2),解（3）：前面已求得,解（4）:零输入响应不变,仍为 但零状态响应变为,解（5）:零状态响应不变,仍为 但零输入响应变为,本节小结,1、掌握卷积和的运算 2、掌握卷积和的应用,
