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1、例2-1：已知点A的水平投影a和正面投影a，求其侧面投影a”，如图29(a)所示。 分析：由点的投影规律得知，点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，故a”必在过a所作的OZ轴的垂线（OX轴的平行线）上。又知点的侧面投影到OZ轴的距离等于水平投影到OX轴的距离，即a”az=aax。因此，只要在过a对OZ轴所作的垂线上截取aza”aax，即可得a”。,例2-2： 已知点B的正面投影b和侧面投影b”，求其水平投影b，如图210（a）所示。,例23：已知点A的坐标为（20、10 、15），求作点A的三面投影a、a和a”。 分析：从点 A的三个坐标值可知，点 A 到 W 面的距离为 20，到 V 面
2、的距离为 10倒 H 面的距离为15。根据点的投影规律和点的三面投影与其3个坐标的关系，即可求得点A的3个投影。,例24：在图213（a）所给出的三投影面体系中，画出点A（20，12，15）的三面投影及点A的空间位置。,例2-5：过点 A向右上方作一正平线 AB，使其实长为 25，与 H面的倾角=300，如图2-19（a）所示。 分析：由正平线的投影特性可知，正平线的正面投影反映实长，它与OX轴的夹角反映直线对H面的倾角，故本题只有一个解。,例2-6：已知直线AB的正面投影 ab和点 A的水平投影 a，并知AB=25，求AB的水平投影ab及AB对V面的倾角，如图2-23(a)所示。 分析：由点
3、的投影规律可知，b应在过b所作的OX轴的垂线上，因此只要求出AB两点的y坐标差，即可确定b。根据直角三角形法的原理，以ab为一直角边。以25为斜边作一直角三角形，它的另一直角边即为AB两点的y坐标差，y坐标差所对的角即为AB对V面的倾角。本题有两个解。,例2-7 :已知直线AB的水平投影ab和点A的正面投影a，并知AB对H 面倾角为300，求: AB的正面投影ab。 分析：由于点A的正面投影a（即其z坐标）已知，所以只要求出A、B两点的z坐标差，即可确定点B的正面投影b。由上述直角三角形法的原理可知，以ab为一直角边，作一锐角为300的直角兰角形，则300角所对的直角边，即为A、B两点的Z坐标
4、差。,例2-8：根据图226（a）所示，在直线AB上找一点K，使AK：KB=3：2 分析：由上述投影特性可知，AK：KB=3：2，则其投影 ak：kb=ak：kb3：2。因此，只要用平面几何作图的方法，把ab或ab为3：2，即可求得点K的投影。,例29：判定点K是否在侧平线AB上（图227a。 分析：由直线上点的投影特性可知，如果点K在直线AB上，ak：kb=ak：kb，因此，可用这一等比关系来判定K是否在直线AB上。另外，如果点K在直线AB上，则k”应在a”b”上。所以，也可作出它们的侧面投影来判定。,例2-10：已知：直线AB和CD相交于点K，并知AK：KB=1：2，根据图给的投影，求AB
5、的正面投影ab和CD的水平投影cd 分析：由直线上的点分线段为定比的性质可知，若AK：KB=1：2，则ak：bk 也必等于1：2，由此可求得交点K的水平投影。又因交点K是两直线AB和CD的公有点，故k必在cd上。点C的水平投影和点B的正面投影分别位于dk和ak的延长线上。,例2-11：已知矩形ABCD的一边AB平行于H面，根据图给的投影，完成该矩形的两面投影。 分析：因矩形的两边 ABAC，又知 ABH面，故abac。又因矩形的对边互相平行，所以 abcd，ab cd；acbd，acbd。据此即可完成该矩形的投影。,例212：过点 C作直线CD与正平线AB相交垂直。 分析：已知CDAB，其中A
6、B平行于V面，故其正面投影cd ab，由此即可确定CD的投影 cd和 cd。,例2-13:在两相交直线AB和CD所决定的平面内，另外任取两条直线（图2-47（a）。 分析： 根据直线在平面内的几何条件，可在AB和CD上分别取一点M、N，则M、N连线必在该平面内；再过AB或CD上的任一点作一直线平行于CD或AB，则该直线也必在该平面内。,例214 已知ABC内点K的水平投影k，求其正面投影k（图2-48（a）。 分析： 点K在ABC内，它必在该平面内的一条直线上，k和k应分别位于该直线的同面投影上。因此，欲求点K的投影，须先在西ABC内作出过点K的辅助线的投影。,例2-15：判定点K是否在两平行
7、直线AB和CD所决定的平面内（图249（a）。 分析：如果点K在给定的平面内，它必在该平面内的一条直线上。因此，只要通过点K的某一投影在（或k），在给定的平面内作一条直线的投影，看点K的另一投影k（或k）是否在该直线的同面投影上，即可判定点K是否在所给定的平面内。,例216：已知平面四边形ABCD的水平投影abcd和正面投影abd，完成该四边形的正面投影见图250（a）。 分析：因为ABCD为一平面四边形，所以点C必在ABD所决定的平面内，因此点C的正面投影C可运用在平面内取点的方法求得。,例217：在两平行直线AB、CD所决定的平面内，作一距H 面为15的水平线，如图(2-52(a) 分析：
8、水平线的正面投影平行于OX轴，它到OX轴的距离，反映水平线到H面的距离，虽然平面内所有的水平线，其正面投影都平行于OX轴，但距OX轴为15的只有一条，故应先作其正面投影，再求其水平投影。,例2-18:过ABC的顶点B，作该平面内的正平线见图2-53（a）。 分析：由直线在平面内的几何条件可知，过顶点 B作直线L，平行于西ABC的一条直线，则直线L必在该平面内。如果所作的直线L，平行于ABC的一条正平线，则直线L即为该平面内过顶点B的正平线。因此，欲过顶点B作该平面内的正平线，须在ABC内先任作一条正平线。,例219：求ABC（alc，abc）与 H 面的倾角，见图 2一55（a）。 分析：AB
9、 C与H 面的倾角，就是该平面的最大坡度线与H 面的倾角。因此，只要求出该平面的最大坡度线的两个投影，然后利用直角三角形法，即可求得最大坡度线与H 面的倾角。,例220 包含点A（a，a）作一用迹线表示的铅垂面P，且与V面的倾角为300图2-56（a）。 分析：因为铅垂面的水平迹线有积聚性，所以PH必通过点A的水平投影a；又因水平迹线与OX轴的夹角，反映该平面与V面的倾角，故PH的方向可定。,例221：包含水平线AB作一与H 面倾角为300的平面，见图257（a）。 分析：平面对H 面的倾角，就是该平面最大坡度线与H 面的倾角；最大坡度线又与平面内的水平线垂直；因此只要作一条与AB相交垂直、且
10、与H 面成300角的直线（即为所求平面的最大坡度线），该直线与AB所决定的平面，即为所求的平面。,例3-1：过点 A作一水平线 AB，与CDE平行，见图3-2（a）。 分析：CDE（cde，cde）的空间位置一经给定，该平面水平线的方向也就随之而定。虽然过点A可作无数条水平线，而与CDE平行的直线只有一条，它必与CDE内的水平线平行。,例3-2: 判定直线AB与CDE是否平行（图3-3（a）。 分析：由直线与平面平行的几何条件可知，如果ABCDE，则在西CDE内必能作出与AB平行的直线，否则AB不平行于CDE。,例33：判定直线AB与正垂面P是否平行（图3-4） 分析判定：正垂面P内的所有直线
11、（包括水平投影与ab平行的直线）的正面投影，都积聚在Pv上。因为题中给出 abPv，故可以判定直线AB与正垂面互相平行。,例34:求直线AB与铅垂面P的交点K，并判定投影的可见性(36（a）)。 分析：因为交点K是直线AB与铅垂面P的公有点，铅垂面P的水平投p有积聚性，所以直线AB的水平投影ab与p的交点k，即为AB与平面P交点K的水平投影。,例3-5：求正垂线AB与CDE的交点，并判定投影的可见性，参见图3-7（a）。 分析：由于交点是直线上的点，而正垂线的正面投影有积聚性，所以交点的正面投影与正垂线的正面投影重合。又因交点也是平面上的点，故可用在平面内取点的方法，求交点的水平投影。,例3-
12、6：求直线AB与CDE的交点，并判定投影的可见性，见图39（a）。,例37：求图 3-10（a）所示的直线 AB与CDE的交点，并判定投影的可见性。,例3-8：过点M作直线MN垂直于ABC，并求其垂足，如图3-12（a）所示。,例3-9：过点A作平面与直线MN垂直（图3-13（a）。 分析：由直线与平面垂直的几何条件可知，只要过点A作两条相交直线均与MN垂直，则这两条相交直线所决定的平面，既包含点A，又与MN垂直。,例3-10：判定图3-14（a）所示的直线AB与平面P是否垂直。 分析：如果ABP，则AB的水平投影ab，必垂直于平面P内水平线的水平投影；同时AB的正面投影ab，必垂直于平面P内
13、正平线的正面投影。,例 3-11：判定图 3-15所示的直线 AB与铅垂面P是否垂直。 分析判定：因为铅垂面P内水平线的水平投影，与它的水平投影p重合；铅垂面内平行于V面的直线，又只能是铅垂线；所以与铅垂面P垂直的直线，一定是水平线，而且其水平投影与平面的水平投影（有积聚性）垂直。从图中可以看出，虽然abP，但ab不平行于OX轴，故直线 AB与铅垂面P不垂直。 同理，与正垂面垂直的直线，一定是正平线，而且其正面投影与正垂面的正面投影垂直，由此可判定，直线与正垂面是否垂直。,例3-12：过点 A作一平面，与两条平行线DE和FG所决定的平面平行，如图 3-17。 分析：由两平面互相平行的几何条件可
14、知，只要过点A作两条相交直线，与已知平面内的两条相交直线对应平行（其同面投影都对应平行），则过点A的这两条相交直线所决定的平面，必与已知平面平行。,例3-13：判定图 3-18（a）所示的ABC与DEF是否平行。 分析：如果ABCDEF，则在DEF内必能作出两相交直线，与ABC的两边对应平行（其同面投影都对应平行），否则ABC不平行于DEF。,例3-14：求图 321 (a) 所示的铅垂面 P与ABC的交线，并判定其投影的可见性。,例3-15：求图322 (a)所示的正平面ABC与铅垂面P的交线，并判定其投影的可见性。,例3-16：求图323（a）所示的ABC与水平面P的交线，并判定其投影的可
15、见性。,例3-17：求图325（a）所示的ABC与DEF的交线，并判定其投影的可见性。 分析：为了作图简便起见，求交点时所选的直线，最好与相交平面的各投影都有重影部分（因为只有这样的直线与平面的交点，才有可能在平面图形的范围之内），如DE、DF与ABC的两投影，以及 AC与DEF的两投影都有重影部分，所以宜在 DE、DF和AC中任选两条，求与另一平面的交点。,例3-18：求图326（a）所示的ABC与DEF的交线，并判定其投影的可见性,例3-19：求图3-28（a）所示的ABC与DEF的交线。,例3-20：包含直线MN作一平面，与ABC垂直，如图3-30（a）所示。 分析：由两平面垂直的几何条
16、件可知，只要过直线MN上的任一点，作一条直线与ABC垂直，则这两条相交直线所决定的平面必与ABC垂直。,例321：判定图 3-31（a）所示的平面 P与ABC是否垂直。 分析：由两平面垂直的几何条件可知，如果PABC，则在ABC内必包含平面P的垂线。因此，欲判定P与ABC是否垂直，可过ABC内的任一点作平面P的垂线，然后根据直线在平面内的几何条件，判定该垂线是否在ABC内。,例3-22：判定图3-32（a）所示的ABC与铅垂面P是否垂直。 分析：由于与铅垂面垂直的直线只能是水平线，所以欲判定ABC与铅垂面P是否垂直，只要看ABC内的水平线的水平投影，与铅垂面的水平投影p是否垂直即可。,综合性问题 例3-23：如图3-33（a）所示，过点
