企业财务预警(3-上)

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1、第三章 财务预警的模型与方法(上),第三章 财务预警的模型与方法(上),第一节 一元线性回归 第二节 多元线性回归,第一节 一元线性回归,一. 一元线性回归模型 二. 参数的最小二乘估计 三. 回归方程的显著性检验 四. 预测及应用,什么是回归分析？（内容）,从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式； 对这些关系式的可信程度，进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中，找出哪些变量的影响显著，哪些不显著； 利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值，来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度。,回归方程一词是怎么来的,回归分析与相关分析的区别,相关分析中，变量

2、 x 变量 y 处于平等的地位；回归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化； 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量； 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制 。,回归模型的类型,一、回归模型与回归方程,回 归 模 型,1 . 回答“变量之间是什么样的关系？” 2 . 方程中运用 1 个数字的因变量(响应变量) 被预测的变量 1 个或多个数字的或分类的自变

3、量 (解释变量) 用于预测的变量 3. 主要用于预测和估计。,一元线性回归模型（概念要点）,当只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变量 y 与自变量 x 之间为线性关系时，称为一元线性回归； 对于具有线性关系的两个变量，可以用一元线性方程来表示它们之间的关系； 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程，称为回归模型。,一元线性回归模型（概念要点）, 对于只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表示为 y = b0 + b1 x + e 模型中，y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项； 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化； 误差项 是随机变量 反映了除 x 和 y 之

4、间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响； 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性。 0 和 1 称为模型的参数。,一元线性回归模型（基本假定）,误差项是一个期望值为0的随机变量，即E()=0。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为 E ( y ) = 0+ 1 x ； 对于所有的 x 值，的方差2 都相同； 误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即N( 0 ,2 ) ； 独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的与其他 x 值所对应的不相关； 对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他 x 所对应的 y 值也不相关。,回归方程（概念要点）,描述 y 的平均值或

5、期望值，如何依赖于 x 的方程，称为回归方程； 简单线性回归方程的形式如下 E( y ) = 0+ 1 x,方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程； 0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值； 1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值。,估计(经验)的回归方程,总体回归参数 和 是未知的，必需利用样本数据去估计；,用样本统计量 和 代替回归方程中的未知参数 和 ，就得到了估计的回归方程；,简单线性回归中估计的回归方程为,其中： 是估计的回归直线在 y 轴上的截距， 是直线的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值，是 y 的估计值，也

6、表示 x 每变动一个单位时， y 的平均变动值 。,二、参数 0 和 1 的最小二乘估计,最小二乘法（概念要点）,使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 和 的方法。即,用最小二乘法拟合的直线，来代表x与y之间的关系与实际数据的误差，比其他任何直线都小。,最小二乘法（图示）,最小二乘法（ 和 的计算公式）,根据最小二乘法的要求，可得求解 和 的标准方程如下,估计方程的求法（实例）,【例】根据例1中的数据，拟合人均消费金额对人均国民收入的回归方程。 根据 和 的求解公式得,估计(经验)方程,人均消费金额对人均国民收入的回归方程为,y = 54.22286 + 0.52638 x,

7、估计方程的求法 （Excel的输出结果）,三、回归方程的显著性检验,离差平方和的分解,因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面 由于自变量 x 的取值不同造成的； 除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响。 对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示。,离差平方和的分解（图示）,离差平方和的分解 （三个平方和的关系）,从图上看有,2. 两端平方后求和有,SST = SSR + SSE,离差平方和的分解 （三个平方和的意义）,总平方和 (SST) 反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差。 回归平方和 (

8、SSR) 反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和。 残差平方和 (SSE) 反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和。,样本决定系数（判定系数 r2 ）,回归平方和占总离差平方和的比例,反映回归直线的拟合程度； 取值范围在 0 , 1 之间； r2 1，说明回归方程拟合的越好；r20，说明回归方程拟合的越差； 判定系数等于相关系数的平方，即r2(r)2,回归方程的显著性检验 （线性关系的检验）,检验自变量和因变量之间的线性关系是否显著； 具体方法是将回归离

9、差平方和(SSR)同剩余离差平方和(SSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著。 如果是显著的，两个变量之间存在线性关系； 如果不显著，两个变量之间不存在线性关系。,回归方程的显著性检验 （检验的步骤）,1. 提出假设 H0：线性关系不显著,2. 计算检验统计量F,确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F 作出决策：若FF ,拒绝H0；若FF ,接受H0,回归方程的显著性检验 （方差分析表）,（续前例）Excel 输出的方差分析表,平方和,均方,估计标准误差 Sy,实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根； 反映实际观察值在回归直线周围的分散状况； 从另一

10、个角度说明了回归直线的拟合程度； 计算公式为,注：上例的计算结果为14.949678,回归系数的显著性检验（要点）,检验 x 与 y 之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量 x 对因变量 y 的影响是否显著；,理论基础是回归系数 的抽样分布；,在一元线性回归中，等价于回归方程的显著性检验。,回归系数的显著性检验 （样本统计量 的分布）,是根据最小二乘法求出的样本统计量，它有自己的分布 的分布具有如下性质 分布形式：正态分布 数学期望： 标准差： 由于未知，需用其估计量Sy来代替得到 的估计的标准差,回归系数的显著性检验 （样本统计量 的分布）,回归系数的显著性检验（步骤）,提出假设 H0:

11、b1 = 0 (没有线性关系) H1: b1 0 (有线性关系) 计算检验的统计量,确定显著性水平，并进行决策 tt，拒绝H0； tt，接受H0,回归系数的显著性检验（实例）,对前例的回归系数进行显著性检验 (0.05),提出假设 H0：b1 = 0 人均收入与人均消费之间无线性关系 H1：b1 0 人均收入与人均消费之间有线性关系 计算检验的统计量,t = 65.0758 t = 2.201，拒绝H0，表明人均收入与人均消费之间有线性关系。,回归系数的显著性检验 (Excel输出的结果）,四、预测及应用,利用回归方程进行估计和预测,根据自变量 x 的取值估计或预测因变量 y的取值 估计或预测

12、的类型 点估计 y 的平均值的点估计 y 的个别值的点估计 区间估计 y 的平均值的置信区间估计 y 的个别值的预测区间估计,利用回归方程进行估计和预测 （点估计）,对于自变量 x 的一个给定值x0 ，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计值 ；,2. 点估计值有 y 的平均值的点估计； y 的个别值的点估计。 3. 在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的，但在区间估计中则不同。,利用回归方程进行估计和预测 （点估计）, y 的平均值的点估计 利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的平均值的一个估计值E(y0) ，就是平均值的点估计； 在前

13、面的例子中，假如我们要估计人均国民收入为2000元时，所有年份人均消费金额的的平均值，就是平均值的点估计。根据估计的回归方程得,利用回归方程进行估计和预测 （点估计）, y 的个别值的点估计,利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的一个个别值的估计值 ，就是个别值的点估计；,2. 比如，如果我们只是想知道1990年人均国民收入为1250.7元时的人均消费金额是多少，则属于个别值的点估计。根据估计的回归方程得,利用回归方程进行估计和预测 （区间估计）,点估计不能给出估计的精度，点估计值与实际值之间是有误差的，因此需要进行区间估计； 对于自变量 x 的一个给定值

14、 x0，根据回归方程得到因变量 y 的一个估计区间； 区间估计有两种类型 置信区间估计 预测区间估计,利用回归方程进行估计和预测 （置信区间估计）, y 的平均值的置信区间估计 利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的平均值E(y0)的估计区间 ，这一估计区间称为置信区间； E(y0) 在1-置信水平下的置信区间为,式中：Sy为估计标准误差,利用回归方程进行估计和预测 （置信区间估计:算例）,【例】根据前例，求出人均国民收入为1250.7元时，人均消费金额95%的置信区间。 解：根据前面的计算结果 712.57，Sy=14.95，t(13-2)2.201，n

15、=13 置信区间为,712.5710.265,人均消费金额95%的置信区间为702.305元722.835元之间。,利用回归方程进行估计和预测 （预测区间估计）, y 的个别值的预测区间估计 利用估计的回归方程，对于自变量 x 的一个给定值 x0 ，求出因变量 y 的一个个别值的估计区间，这一区间称为预测区间 。 y0在1-置信水平下的预测区间为,利用回归方程进行估计和预测 （置预测区间估计:算例）,【例】根据前例，求出1990年人均国民收入为1250.7元时，人均消费金额的95%的预测区间。 解：根据前面的计算结果有 712.57，Sy=14.95，t(13-2)2.201，n=13 置信区间为,人均消费金额95%的预测区间为678.101元747.039元之间 。,712.5734.469,影响区间宽度的因素,1. 置信水平 (1 - ) 区间宽度随置信水平的增大而增大 2. 数据的离散程度 (s) 区间宽度随离散程度的增大而增大 3. 样本容量 区间宽度随样本容量的增大而减小 4. 用于预测的 xp与x的差异程度 区间宽度随 xp与x 的差